Come dimostrare la legge di Stevino

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una materia difficile e complicata che ha bisogno di molta pratica e molto studio per essere appresa. Rimane però una delle materie più interessanti che esistano al mondo, tempestata di regole e leggi che attraverso alcuni passaggi possono essere dimostrati con facilità, una di queste è la legge di Stevino. Una delle leggi più importanti e interessanti.
La legge di Stevino è alla base del principio dei vasi comunicanti ed afferma che la pressione idrostatica esercitata da una colonna di liquido è proporzionale alla densità del liquido stesso ed all'altezza della colonna (di liquido) e non dipende, invece, dalla quantità di liquido.
Per un liquido a densità costante come l‘acqua e molti altri, la pressione dipende solo dall’altezza.
In altre parole afferma che il valore della pressione idrostatica aumenta proporzionalmente alla profondità.

P = P0 + ρ * g * h

o più in generale


P = ρ * g * h

Possiamo definire h come distanza dalla superficie libera del fluido.
Vediamo come questa legge si può dimostrare matematicamente attraverso pochi e semplici passaggi spiegati in questa guida. Mettiamoci quindi all'opera.

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Occorrente

  • Carta e penna, eventualmente bottiglia di plastica con acqua
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Considerare un contenitore con un fluido a densità invariabile

Consideriamo un contenitore con un fluido a densità invariabile, come l’acqua.
Prendendo in considerazione al suo interno una particella di fluido infinitesimale di lato dh, se la sua base si trova ad altezza h nel contenitore, la sommità si troverà ad altezza h+dh.

Vedi figura

Essendo dA l’area del volumetto di liquido.

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Analizzare le forze in gioco

Analizziamo le forze in gioco: (dA è l’area o sezione del volumetto)

1) la pressione del fluido che spinge verso l’alto :
P (h + dh) * dA
2) il peso del volumetto di fluido stesso :
ρ * g * Volumetto = ρ * g * dA * dh

Affinché il volumetto rimanga in quiete (idrostatica) le forze devono essere in equilibrio: Pressione verso l'alto - Pressione verso il basso - peso (verso il basso) = 0

P (h)*dA - P (h + dh)*dA - ρ * g * dA * dh = 0

dA si semplifica (sia il volumetto si parallelepipedo che cilindrico), riscriviamo :

P (h) - P (h+dh) - ρ * g * dh = 0

ovvero



P (h) - P (h+dh) = ρ * g * dh.

Continua la lettura
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la definizione di derivata

quindi :

(P (h) - P (h + dh))/dh = ρ*g

P (h + dh) - P (h) rappresenta la definizione di derivata, dunque, invertendo il segno,

dP/dh = -ρ*g

da cui integrando da 0 ad una qualunque quota h si ottiene

P (h)=P (0) - ρ*g*z

che è la formula completa, ma considerando l'asse delle altezze h verso il basso, si può leggere:

P (h) = P (0) + ρ*g*h

che nel caso in cui P (0)=0 cioè la pressione nel punto più in alto del recipiente sia nulla

P = ρ * g * h

C. V. D.

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Praticare 3 fori in una bottiglia di plastica

Nel caso non si conoscano ancora derivate ed integrali, consideriamo di nuovo un cilindro di liquido di area A ed altezza h.
Dalla definizione di pressione si può derivare molto più semplicemente questa legge:
Il volume è dato da:
V=A*h
La massa relativa a questo volume fluido è:
m = ρ *V= ρ * A* h
La pressione è definita come Forza /Area:
P= F/A = m*g/A = ρ *A *h *g/A =
= ρ * g * h semplificando l’area.


Un modo molto semplice e simpatico di dimostrare con i fatti la legge di Stevino è quello di prendere una bottiglia d'acqua di plastica e praticare 3 fori a 3 diverse altezze. Si vedrà che lo zampillo che viene fuori dal foro più in basso (h dalla superficie maggiore) sarà di più forte intensità, ovvero andrà più lontano!
Dimostrare la legge di Stevino non è per nulla semplice, ma richiede allenamento e pratica per essere compresa. Grazie ai passi di questa guida sarete in grado di dimostrare la legge in poco tempo e velocemente, esercitandovi a mettere in pratica le formule qui fornite. Non mi resta che augurare buona fortuna e buon divertimento.
Alla prossima.

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