Come dimostrare la continuità di una funzione in un intervallo

In questa guida si andrà ad analizzare step by step come dimostrare la continuità di una funzione all'interno di un intervallo. Per fare ciò bisogna prima soffermarsi sulla definizione di continuità e sul capire quando una funzione è continua in un punto, prima di poter parlare di funzioni continue in un intervallo. Successivamente saranno descritti alcuni esempi di funzioni continue e punti di discontinuità, che aiutano a capire rapidamente come riconoscere le funzioni continue.

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È usanza molto comune etichettare una funzione come continua se è possibile disegnarla su un foglio senza staccare la penna. Tuttavia questa "definizione" è alquanta vaga, aiuta solamente ad avere un'idea del tipo di funzione che si sta trattando.
Una funzione f(X) si dice continua nel punto X0 se il limite di f(X) per X che tende ad X0 è uguale ad X0.
La definizione riguarda quindi la continuità in uno specifico punto: se il limite della funzione con x che tende a uno specifico punto è uguale alla funzione calcolata in quel punto, allora la funzione si dice continua nel punto in esame. Un'ulteriore definizione è la seguente: se il limite di f(X) per X che tende a X0 sinistro è uguale al limite di f(X) per X che tende a X0 destro, e a loro volta entrambi sono uguali a f(X0), allora la funzione è continua nel punto X0. Quindi se i limiti destro e sinistro della funzione in uno specifico punto corrispondono al valore della funzione calcolata in quel punto si ha la continuità della funzione nel punto considerato.

Una funzione f(X) si dice continua nell'intervallo [A,B] se è continua in ogni punto dell'intervallo (A,B) e sugli estremi si ha limite di f(X) per X che tende ad A destro uguale a f(A) e limite di f(x) per X che tende a B sinistro uguale a f(B). Una funzione è quindi continua in un intervallo se per ogni punto facente parte dell'intervallo essa rispetta la definizione di funzione continua in un punto, oltre alle due condizioni agli estremi. È superfluo dire che per intervalli ampi risulta abbastanza lungo e dispendioso andare ad applicare la definizione di continuità per ogni punto, di seguito si andranno quindi ad elencare funzioni continue note e proprietà utili al fine di determinare in modo rapido se una funzione è continua in tutto l'intervallo.

Le funzioni più diffuse utilizzate in matematica sono continue nel loro dominio, ovvero il loro insieme di definizione. Queste sono principalmente:
- Rette
- Polinomi
- Seno e Coseno
- Esponenziali
- Logaritmi
Un esempio di funzione presentante discontinuità è segno(X), che è definita come +1 quando X>0, -1 quando X<0 e 0 se X=0, ebbene questa funzione presenta un "salto" nel punto X=0 poiché il limite sinistro per x che tende a 0 è -1, mentre il limite destro è +1, non è quindi rispettata la definizione di continuità.

Alcune proprietà aiutano a capire immediatamente, o in poco tempo, quando una funzione è continua in un punto o in un intervallo senza dover applicare la definizione.La somma e la differenza, prodotto e quoziente di più funzioni continue generano un ulteriore funzione continua. Anche Il prodotto ed il quoziente di più funzioni continue sono a loro volta una funzione continua, bisogna solo fare attenzione che la divisione generi un numero compreso nel dominio di definizione.Infine, la composizione di più funzioni continue è una funzione continua.

In definitiva per dimostrare che una funzione è continua in un intervallo possiamo come prima mossa analizzare se corrisponde a delle funzioni note continue, o se è una loro composizione. Qualora ciò non sia immediato si procede con l'applicare la definizione di continuità in punti particolari del dominio, come estremi, massimi, minimi, flessi o altri punti particolari della funzione.Come per tutti gli altri argomenti matematici è consigliabile fare molta pratica attraverso vari esercizi, al fine di migliorarsi e comprendere meglio quanto spiegato teoricamente, si allegano di seguito alcuni link dove reperire esercizi relativi alla continuità di funzioni.

• Fare molti esercizi

• Esercizi funzioni continue
• Teoremi utili
• Punti di discontinuità