Riferendoci alla tesi precedente, diremo che pn è il più grande tra i numeri primi. Questo però sappiamo che non è vero, dato che esisterà sicuramente un numero P più grande di pn. Quindi, si procede in questo modo:
P>pn
se addizioniamo 1 a P avremo ancora:
P + 1>pn
Per il teorema fondamentale dell'aritmetica (un numero o è primo o si ricava dal prodotto di numeri primi) esistono due possibilità:
-P+1 è PRIMO
-P+1 è COMPOSTO
Nel primo caso, P+1 è primo, abbiamo ottenuto una contraddizione: infatti P+1 è maggiore di pn, il che va contro l'ipotesi per cui pn è il maggiore dei numeri naturali, e avendo noi generalizzato con l'utilizzo di un'incognita, esisterà sempre un numero primo maggiore di pn. Allora l'insieme di P è infinito.
Nel secondo caso, p+1 è composto e contraddice il discorso che abbiamo dimostrato precedentemente. Infatti per costruzione P+1 non è divisibile né da pn né da un fattoriale, perché come risultato darà sempre 1 in base a questi fattori. Un numero composto è divisibile per i fattoriali dato che è composto da essi, come possiamo ricavare dal teorema fondamentale dell’aritmetica. Detto ciò, noterete che il secondo caso non è dimostrabile perché contraddittorio, mentre il primo caso dimostra perfettamente che P è infinito e potrà sempre essere più grande di pn.