Riferendoci alla tesi precedente, diremo che pn è il più grande tra i numeri primi. Questo però sappiamo che non è vero, dato che esisterà sicuramente un numero P più grande di pn. Quindi, si procede in questo modo: P>pn. Questa considerazione è la stessa che si fa per dimostrare l'infinità dei numeri. Se addizioniamo 1 a P avremo ancora: P + 1>pn Per il teorema fondamentale dell'aritmetica che afferma che un numero o è primo o si ricava dal prodotto di numeri primi, esistono due sole possibilità: P+1 è PRIMO, P+1 è COMPOSTO. Se P è dispari, P+1 è pari e se non è 2 è ovviamente un numero composto, per definizione. Nel primo caso, P+1 è primo, abbiamo ottenuto una contraddizione: infatti P+1 è maggiore di pn, il che va contro l'ipotesi per cui pn è il maggiore dei numeri naturali, e avendo noi generalizzato con l'utilizzo di un'incognita, esisterà sempre un numero primo maggiore di pn. Allora l'insieme di P è infinito. Nel secondo caso, p+1 è composto e contraddice il discorso che abbiamo dimostrato precedentemente. Infatti per costruzione P+1 non è divisibile né da pn né da un fattoriale, perché come risultato darà sempre 1 in base a questi fattori. Un numero composto è divisibile per i fattoriali dato che è composto da essi, come possiamo ricavare dal teorema fondamentale dell’aritmetica. Detto ciò, noterete che il secondo caso non è dimostrabile perché contraddittorio, mentre il primo caso dimostra perfettamente che P è infinito e potrà sempre essere più grande di pn.