Come dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale

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Difficoltà: media
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Introduzione

All'interno di questa guida, parleremo di matematica. Nello specifico, andremo a rispondere alla seguente problematica: come dimostrare il teorema fondamentale del calcolo integrale? Proveremo a dare una risposta esaustiva lungo i passaggi della guida. Buona lettura.
In matematica, questo teorema permette di relazionare il concetto di integrale con quello di derivata. È possibile, infatti, effettuare il calcolo di una funzione da un punto generico fino a un valore variabile appartenente al suo stesso dominio. In ogni caso, prendete carta e penna e annotatevi le diverse modalità, che vi permetteranno di dimostrare questo principio matematico.

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Come prima cosa, è utile sapere che la teoria su cui si basa questo calcolo è data da due teoremi: il primo conferma l'esistenza di una funzione derivabile, la cui derivata corrisponde a quella iniziale. Questa espressione prende il nome di primitiva. La seconda, invece, consente di effettuare il calcolo effettivo dell'integrale.
Dobbiamo considerare un fatto molto importante che ha segnato nel tempo questo teorema matematico: per riuscire ad arrivare alle modalità di calcolo presenti oggi, i teorici passati hanno dovuto modificare il teorema apportando specifici cambiamenti. Stiamo parlando di teorici come Barrow, come Newton e Gregory. Vi sono inoltre alcuni sistemi di calcolo più potenti tra cui l'integrale di gauge.

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Un tassello fondamentale su cui si basa questa teoria è la condizione di continuità assoluta, necessaria e sufficiente per la validità del calcolo dell'integrale.
Per potere eseguire una dimostrazione, vi sono tre diversi approcci esistenti. Il primo prevede un calcolo di tipo fisico in cui si considera un punto fisso associato a un movimento lungo ad una retta.
È d'importanza fondamentale riuscire a ricordare che esiste un fattore di dipendenza dal tempo nell'espressione data in questa funzione matematica.
Potremmo dare al moto un valore costante, rispetto ai vari intervalli presenti nel tempo.

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Un altro calcolo, ha un approccio di tipo geometrico. Nel caso specifico, bisognerà prendere in considerazione una funzione geometrica che dia come risultato esclusivamente una derivata avente segno finale positivo.
Se consideriamo un punto associato all'espressione matematica, si possono ottenere segmenti che possono risultare espansi o compressi dalla medesima funzione.
L'integrale calcolato ci indicherà l'effettivo spazio percorso grazie alla somma di questi segmenti convertiti dalla funzione iniziale. Infine, l'ultimo approccio è quello di tipo algebrico. Grazie a questo sistema possiamo creare una sommatoria di vari termini che, tramite la proprietà associativa, risulterà maggiormente semplificata.
In chiusura, vi consiglio vivamente di visitare anche il seguente link, concernente il medesimo argomento che è stato trattato all'interno di questa breve, ma esaustiva, guida: https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_fondamentale_del_calcolo_integrale.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Verificate i cambiamenti apportati nel tempo.
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