Sottolineiamo la prova del teorema 2.8.1, l'esistenza / Teorema di unicità per le equazioni differenziali del primo ordine. In particolare, esaminiamo i concetti necessari per l'analisi e il commento su quale materiale avanzato da Math 301/305 (analisi reale) sarebbe necessario. Includiamo appendici sul teorema Mean Value, il teorema di Intermediate Value e Induzione Matematica. Il solo risultato di quale abbiamo bisogno che non sia elementare e non è dimostrato in queste note è il teorema di convergenza dominata da Lebesgue. Questo è un risultato importante e ci permette di scambiare un limite e un integrante; Tuttavia, dovrebbe essere possibile dimostrare il caso speciale noi. Necessità elementariamente (la prova è lasciata come un esercizio per il lettore).
1. Dichiarazione
Teorema 1.1. Sia f e ?f / ?y funzioni continue sul rettangolo
R = [-a, a] × [-b, b]. Poi c'è un h ? un tale che ci sia un
Soluzione unica all'equazione differenziale dy / dt = f (t, y) con iniziale condizione y (0) = 0 per tutti t ? (-h, h).
Seguendo il manuale, abbiamo scelto di semplificare la notazione e non affermare il teorema nella massima generalità. Abbiamo eseguito due traduzioni in modo da assumere che l'intervallo di tempo sia centrato su dei valori y sono centrati a 0. Non esiste una perdita di tale generalità.
Per vedere questo, considerare invece l'equazione du / d? = g1 (?, u (?)) con
U (?0) = u0. Chiaramente questa è l'equazione di ordine del genere più generale; Ora dimostriamo che possiamo trasformare questo in forma di teorema
1.1. Lasciate v (?) = u (?) - u (?0). Nota v (?0) = u (?0) - u (?0) = 0, e come
Dv / d? = du / d? vediamo dv / d? = g1 (?, v (?) + u (?0)) = g2 (?, v (?)). Questo mostra che in assenza del valore iniziale non è una perdita in generale. Un argomento simile mostra che possiamo modificare la variabile temporale ad assumere che l'ora iniziale sia zero.