Come dimostrare il teorema di unicità del limite

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema di unicità del limite è senza alcuna ombra di dubbio uno dei teoremi fondamentali dell'analisi matematica, perché infatti su di esso si basa tutto il lavori dei calcolo dei limiti, che sono certamente indispensabili per questa tipologia di studi. A tale proposito ecco una guida in cui viene spiegato come dimostrare il teorema di unicità del limite, con l'aggiunta di alcuni importanti esempi atti a far capire ancora meglio il concetto.

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Il concetto di base

Per avere sopratutto una maggiore precisione della comprensione riguardante la nostra fantastica e completa dimostrazione, cominciamo il tutto andando ad enunciare il teorema seguente che dice a tutti noi: Se esisterà e sarà finito il limite di una funzione f (x), per x che tenderà ad una quantità finita, allora questo limite sarà unico. A questo punto premesso ciò, possiamo iniziare a descrivere il teorema nel dettaglio, cosa che facciamo nel passo successivo.

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La supposizione

Per dimostrare il teorema, supponiamo per assurdo che l non sia unico, cioè che il limite sia uguale a due limiti differenti, cioè supponiamo di avere quindi: lim per x-->x (0) di f (x)=l1; lim per x-->x (0) di f (x)=l2, con l1 diverso da l2. Applicando la definizione del limite si ottiene quindi che: 1)|f (x)-l1|valore assoluto, tra l1 e l2, si ha che: |l1-l2|. Ad esempio se aggiungiamo e poi sottraiamo una stessa quantità, come sappiamo, si otterrà lo stesso risultato; infatti se ad esempio aggiungiamo quattordici a cinquantasette otteniamo settantuno e se poi andiamo a sottrarre di nuovo quattordici otterremo di nuovo cinquantasette.

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La spiegazione

Tuttavia questo valore, risulterà essere minore o uguale alla somma delle singole differenze, cioè: |l1-f (x) f (x)-l2|<=|l1-f (x)| |f (x)-l2|, ma è altresì importante precisare che questa somma sarà comunque minore di quella dei due n, cioè: |l1-f (x)|=|f (x)-l1| la definizione finale è dunque è la seguente: visto che abbiamo scelto n come una quantità molto piccola; si potrà trascurare e quindi scrivere: 0<=|l1-l2|<0, da cui si potrà poi dedurre facilmente che l1=l2. Perciò, il teorema alla fine sarà stato dimostrato. A margine vale la pena aggiungere che vista l'apparente complessità dell'argomento, soprattutto delle formule appena enunciate, il consiglio e di esercitarvi parecchie volte, senza spazientirvi, e magari rileggendo un paio di volte la guida in modo che alla fine potrete notare con somma soddisfazione di aver inteso alla perfezione il concetto dimostrativo del teorema di unicità del limite.

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La prova del teorema

Sottolineiamo la prova del teorema 2.8.1, l'esistenza / Teorema di unicità per le equazioni differenziali del primo ordine. In particolare, esaminiamo i concetti necessari per l'analisi e il commento su quale materiale avanzato da Math 301/305 (analisi reale) sarebbe necessario. Includiamo appendici sul teorema Mean Value, il teorema di Intermediate Value e Induzione Matematica. Il solo risultato di quale abbiamo bisogno che non sia elementare e non è dimostrato in queste note è il teorema di convergenza dominata da Lebesgue. Questo è un risultato importante e ci permette di scambiare un limite e un integrante; Tuttavia, dovrebbe essere possibile dimostrare il caso speciale noi. Necessità elementariamente (la prova è lasciata come un esercizio per il lettore).
1. Dichiarazione
Teorema 1.1. Sia f e ∂f / ∂y funzioni continue sul rettangolo
R = [-a, a] × [-b, b]. Poi c'è un h ≤ un tale che ci sia un
Soluzione unica all'equazione differenziale dy / dt = f (t, y) con iniziale condizione y (0) = 0 per tutti t ∈ (-h, h).
Seguendo il manuale, abbiamo scelto di semplificare la notazione e non affermare il teorema nella massima generalità. Abbiamo eseguito due traduzioni in modo da assumere che l'intervallo di tempo sia centrato su dei valori y sono centrati a 0. Non esiste una perdita di tale generalità.
Per vedere questo, considerare invece l'equazione du / dτ = g1 (τ, u (τ)) con
U (τ0) = u0. Chiaramente questa è l'equazione di ordine del genere più generale; Ora dimostriamo che possiamo trasformare questo in forma di teorema
1.1. Lasciate v (τ) = u (τ) - u (τ0). Nota v (τ0) = u (τ0) - u (τ0) = 0, e come
Dv / dτ = du / dτ vediamo dv / dτ = g1 (τ, v (τ) + u (τ0)) = g2 (τ, v (τ)). Questo mostra che in assenza del valore iniziale non è una perdita in generale. Un argomento simile mostra che possiamo modificare la variabile temporale ad assumere che l'ora iniziale sia zero.

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