Come dimostrare il teorema di Rolle

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il teorema di Rolle afferma che se, in un intervallo chiuso e limitato, una funzione è continua e contemporaneamente derivabile all'interno dello stesso intervallo e se ancora, agli estremi dell'intervallo, la suddetta funzione presenta valori identici, significa che esiste almeno un punto dell'intervallo in cui la derivata della funzione equivale a zero. Queste tre ipotesi sono necessarie affinché possa essere applicato il teorema: come conseguenza, se succede che almeno una non si verifichi, questo teorema non è applicabile. Ma come si può dimostrare il teorema di Rolle? Attraverso la guida che segue vi illustreremo tutte le indicazioni da seguire, passo dopo passo, per una corretta dimostrazione di questo teorema. L'unico requisito necessario per comprendere e riuscire ad applicare correttamente questo problema è il possesso di conoscenze di base di matematica.

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Dimostrare la continuità della funzione

Il primo passo da compiere, che è di importanza fondamentale per la prosecuzione della dimostrazione del teorema, consiste nel provare la continuità della funzione esaminata: solo se essa risulta continua potremo avere la certezza che di trovarvi all'interno almeno un punto di minimo e di massimo (teorema di Weierstrass). Al fine di effettuare una corretta verifica della continuità di una funzione bisogna controllare i seguenti punti: innanzitutto il limite destro della funzione deve risultare identico al sinistro; deve esistere il limite del rapporto incrementale; deve altresì esistere il limite finito del rapporto incrementale. La presenza contestuale di queste tre ipotesi sarà la dimostrazione che la nostra funzione è continua.

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Provare la derivabilità

A questo punto risulta essere di fondamentale importanza anche provare anche la derivabilità, con la quale avremo la garanzia della stazionarietà della funzione, e dovremo pertanto calcolare il limite della derivata. Prendiamo dunque in considerazione un qualsiasi punto della nostra funzione che chiameremo "c" quindi, considerandolo come un punto di minimo, potremo dire che in qualsiasi altro punto x=(c+h), (con h positivo o negativo), la funzione sarà più grande o al massimo uguale a c. Inoltre, poiché il limite del rapporto incrementale è lo stesso limite della derivata, ne consegue che la derivata di c è uguale a zero. Procedendo esattamente in questo modo riusciremo a provare la derivabilità della funzione.

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Dimostrare il teorema

Naturalmente nel caso in cui la funzione fosse costante la sua derivata è nulla. Se invece la funzione è incostante, potremo provare come in quel determinato intervallo esistano un punto di minimo ed un punto di massimo. In altre parole, proviamo a dividere f (c+h) e f (c) per h, e consideriamolo una volta positivo ed una volta negativo. Il primo rapporto che otterremo sarà quindi maggiore o uguale a zero, l'altro rapporto ottenuto sarà invece minore o uguale a zero. Una volta che avremo calcolato i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale, per il principio della stazionarietà del segno, quest'ultimo permarrà in quello stesso. E poiché la derivata destra deve essere identica a quella sinistra, potremo osservare come l'unico punto in cui ciò accada sia zero. Possiamo quindi dire che il limite del rapporto incrementale, chiamato anche derivata, è uguale a zero. A questo punto abbiamo concluso la dimostrazione di questo teorema. Come avrete capito, il procedimento da seguire è molto semplice e il pochi passaggi riuscirete a effettuare la dimostrazione.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • E' importante possedere delle solide basi di matematica
  • Esercitatevi frequentemente

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