Come dimostrare il teorema di Lagrange

Tramite: O2O 12/10/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema che affronteremo in questa guida, ovvero il teorema di Lagrange (detto anche teorema del valor medio), fu formulato e dimostrato nella sua forma moderna da Cauchy nel 1823, inizialmente descritto da Parameshvara, dalla scuola del https://it.m.wikipedia.org/wiki/Scuola_del_Kerala in India. Tale teorema, considerato uno dei più importanti risultati dell?analisi matematica, afferma che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi.
Qui ne analizzeremo ipotesi, enunciato (sotto forma di simboli matematici, più semplice e comprensibile di quello precedente) e soprattutto come dimostrarlo, al fine di ottenerne un quadro generale chiaro ed esauriente.

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Occorrente
  • Matita
  • Foglio squadrettato
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Le ipotesi

Il teorema di Lagrange si basa su due ipotesi che, se non verificate per la funzione presa in esame, non è applicabile a tale caso. Queste due ipotesi, che sono contenute in parte anche nel teorema di Rolle (il quale rienunceremo e ripasseremo successivamente), sono le seguenti:
_la funzione, che chiameremo F(x), deve essere continua nell?intervallo chiuso e limitato [a,b];
_la funzione F(x) deve essere derivabile in ogni punto interno all?intervallo aperto e limitato (a,b).

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L’enunciato

Una volta verificate le ipotesi riportate nel passo precedente (senza le quali non è consesntita la verificazione del teorema), è possibile applicare il teorema vero e proprio alla funzione presa in esame.
Il teorema di Lagrange enuncia che:
esiste almeno un punto c interno all?intervallo per cui vale la relazione:
[f(b)-f(a)]/(b-a)=f?c
Con f?(c) simbolo della derivata della nostra funzione in un punto c interno all?intervallo.

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L’importanza della dimostrazione dei teoremi

Procediamo fra poco a riportarne la dimostrazione, tema centrale di questa guida.
Prima di questa però desidero rivordare che essa è molto importante e oserei dire necessaria per una corretta e completa comprensione e memorizzazione del teorema, che permette una successiva applicazione di esso. Capire appieno, e non memorizzare, la dimostrazione è una tecnica di comprensione molto importante e fruttuosa per procedere a qualunque tipo di studio elementare, superiore e universitario di ambito logico e matematico.

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Il teorema di Rolle

Ripassiamo tale teorema in quanto, come potrete tranquillamente notare nel passo successivo, esso viene utilizzato nella dimostrazione del teorema di Lagrange, e riprende le ipotesi di quest ultimo, con l?aggiunta di una terza che implica che f(a)=f(b), con a e b estremi dell?intervallo.Il teorema di Rolle infatti enuncia che: data una funzione continua in un intervallo chiuso [a,b], derivabile in ogni punto dell?intervallo aperto (a,b) e tale che f(a)=f(b), allora esiste almeno un punto c interno all?intervallo in chi la derivata si annulla, ovvero f?(c)=0, dove c è detto punto critico o stazionario.

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La dimostrazione

Consideriamo dunque la funzione
F(x)=f(x)-kx, con k appartentente a R.
Sappiamo per ipotesi che:
_F(x) è continua in [a,b] perché somma di funzioni continue in [a,b];
_F(x) è derivabile in (a,b) perché somma di funzioni derivabili in (a,b).
Determiniamo k in modo che F(x) soddisfi pa terza ipotesi del teorema di Rolle, ovvero che F(a)=F(b).
Quindi deve essere:
f(a)-ka=f(b)-kb, cioè k=[f(b)-f(a)]/(b-a)
Sostituiamo alla funzione F(x)=f(x)-x[f(b)-f(a)]/(b-a).
Poiché F(x) soddisfa le ipotesi del teorema fi Rolle, applichiamo tale teorema e ne ricaviamo che esiste almeno un punto c interno all?intervallo tale che F?(c)=0.
Calcoliamo quindi la derivata di F(x):
F?(x)=f?(x)-[f(b)-f(a)]/(b-a)=0
Otteniamo dunque la tesi:
f?(c)=[f(b)-f(a)/(b-a). Concludiamo infine la dimostrazione con il comune simbolo C.V.D. (come volevasi dimostrare).

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Consigli
Non dimenticare mai:
  • Ripassare il teorema di Rolle, in particolar modo le ipotesi
  • Comprenedere appieno la dimostrazione e non limitarsi a memorizzare l’enunciato
  • Compiere i calcoli autonomamente e non limitarsi a trascrivere i risultati da questa guida
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