Come dimostrare il teorema di Lagrange

Il Teorema di Lagrange è un teorema che si incontra durante lo studio delle derivate. Esso trae origine dal nome del matematico che lo ha enunciato e afferma che, data una Funzione qualsiasi f (x), "continua e derivabile" in un intervallo chiuso da "a" a "b", esiste almeno un punto "c", la cui derivata ha il coefficiente angolare del segmento ab. Tradotto in termini più comprensibili: esiste almeno un punto "c" per cui passa una tangente alla funzione che risulta parallela al segmento ac. Il punto "c" è uno e uno soltanto nelle funzioni che presentano un unico intervallo di oscillazione tra "a" e "b", mentre se le oscillazioni sono due o più, ci saranno altrettanti punti nei quali la derivata "si annulla". Vediamo insieme come si può dimostrare.

Per dimostrare la Funzione di Lagrange, possiamo ricorrere alle competenze acquisite con lo studio della Funzione di Rolle.
Immaginiamo di dover dimostrare che, data la funzione

f: [a, b] --> R, derivabile nell'intervallo (a; b)

allora

esiste un punto c compreso in (a; b) per il quale:
[f (b) - f (a)] / (b-a) = f'(c).

La nostra Funzione ausiliaria verifica le condizioni del Teorema di Rolle, in quanto assume valori uguali agli estremi.
Inoltre, essendo data dalla differenza di due funzioni "continue e derivabili" in [a, b], anch'essa risulta continua e derivabile. Posso cioè individuare un punto c in cui la derivata si annulla e F'(c) = 0.
allora se
F'(c) = f'(c) - g (c) = 0
=> f'(c) - [f (b) - f (a)] / (b-a) = 0
=> f'(c) = [f (b) - f (a)] / (b-a).

Recuperando qualche nozione di geometria analitica, l'equazione di una retta che passa per due punti è la seguente:
[x - x (a)] / [x (b) - x (a)] = [y - y (a)] / [y (b) - y (a)]
lavoriamoci un po' su e procediamo alle semplificazioni applicate al caso:
(x - a)/(b-a) = [g (x) - f (a)] / [f (b) - f (a)]
g (x)= f (a) + {[f (b) - f (a)] / (b - a)}*(x - a)

testiamo la validità della funzione "g"
Per x = a
g (a) = f (a) + {[f (b) - f (a)]/(b - a)}*(a - a) = fa
Per x = b
g (b)= f (a) + {[f (b) - f (a)]/(b - a)]}*(b - a) = f (b)

Dato che la nostra funzione "g" è corretta, allora la funzione ausiliaria F (x) è tale per cui

F (x) = f (x) - g (x)
= f (x) - f (a) + {[f (b) - f (a)]/(b - a)}*(x - a).

Usiamo uno stratagemma e per ricondurci al Teorema di Rolle consideriamo una funzione "ausiliaria", che chiameremo F (x) definita come segue:
F (x)= f (x) - g (x)
e dove g (x) è una semplice funzione "polinomiale", che rappresenta una retta e nella quale assumiamo che
f (a) = g (a) e f (b) = g (b).
Stiamo dicendo che gli estremi della funzione f e quelli della funzione g coincidono, con la conseguenza che la nostra funzione ausiliaria F (x) risulta nulla agli estremi.
Verifichiamolo!
F (a) = f (a) - g (a) = 0

F (b) = f (b) - g (b) = 0.

• Attenzione: tutto quanto detto valo solo ed esclusivamente se, all'interno dell'intervallo "ab", la funzione si mantiene continua e derivabile. In caso contrario possono esserci delle "cuspidi" o altre forme di "discontinuità" tali per cui non esisterà alcun punto per cui passa una tangente parallela ad "ab".
• Il Teorema di Lagrange è anche detto Teorema del Valore Medio.
• Per chiarirti le idee non ragionare mai per "compartimenti stagni": nella comprensione del Teorema di Lagrange, ad esempio, ti risulta molto utile il Teorema di Rolle che hai già studiato e del quale quello in parola è una possibile applicazione.

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