Come dimostrare il teorema di Lagrange

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il Teorema di Lagrange è un teorema che si incontra durante lo studio delle derivate. Esso trae origine dal nome del matematico che lo ha enunciato e afferma che, data una Funzione qualsiasi f (x), "continua e derivabile" in un intervallo chiuso da "a" a "b", esiste almeno un punto "c", la cui derivata ha il coefficiente angolare del segmento ab. Tradotto in termini più comprensibili: esiste almeno un punto "c" per cui passa una tangente alla funzione che risulta parallela al segmento ac. Il punto "c" è uno e uno soltanto nelle funzioni che presentano un unico intervallo di oscillazione tra "a" e "b", mentre se le oscillazioni sono due o più, ci saranno altrettanti punti nei quali la derivata "si annulla". Vediamo insieme come si può dimostrare.

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Funzione di Lagrange

Per dimostrare la Funzione di Lagrange, possiamo ricorrere alle competenze acquisite con lo studio della Funzione di Rolle.
Immaginiamo di dover dimostrare che, data la funzione

f: [a, b] --> R, derivabile nell'intervallo (a; b)

allora

esiste un punto c compreso in (a; b) per il quale:
[f (b) - f (a)] / (b-a) = f'(c).

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Funzione ausiliaria

La nostra Funzione ausiliaria verifica le condizioni del Teorema di Rolle, in quanto assume valori uguali agli estremi.
Inoltre, essendo data dalla differenza di due funzioni "continue e derivabili" in [a, b], anch'essa risulta continua e derivabile. Posso cioè individuare un punto c in cui la derivata si annulla e F'(c) = 0.
allora se
F'(c) = f'(c) - g (c) = 0
=> f'(c) - [f (b) - f (a)] / (b-a) = 0
=> f'(c) = [f (b) - f (a)] / (b-a).

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L'equazione di una retta

Recuperando qualche nozione di geometria analitica, l'equazione di una retta che passa per due punti è la seguente:
[x - x (a)] / [x (b) - x (a)] = [y - y (a)] / [y (b) - y (a)]
lavoriamoci un po' su e procediamo alle semplificazioni applicate al caso:
(x - a)/(b-a) = [g (x) - f (a)] / [f (b) - f (a)]
g (x)= f (a) + {[f (b) - f (a)] / (b - a)}*(x - a)

testiamo la validità della funzione "g"
Per x = a
g (a) = f (a) + {[f (b) - f (a)]/(b - a)}*(a - a) = fa
Per x = b
g (b)= f (a) + {[f (b) - f (a)]/(b - a)]}*(b - a) = f (b)

Dato che la nostra funzione "g" è corretta, allora la funzione ausiliaria F (x) è tale per cui

F (x) = f (x) - g (x)
= f (x) - f (a) + {[f (b) - f (a)]/(b - a)}*(x - a).

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Teorema di Rolle

Usiamo uno stratagemma e per ricondurci al Teorema di Rolle consideriamo una funzione "ausiliaria", che chiameremo F (x) definita come segue:
F (x)= f (x) - g (x)
e dove g (x) è una semplice funzione "polinomiale", che rappresenta una retta e nella quale assumiamo che
f (a) = g (a) e f (b) = g (b).
Stiamo dicendo che gli estremi della funzione f e quelli della funzione g coincidono, con la conseguenza che la nostra funzione ausiliaria F (x) risulta nulla agli estremi.
Verifichiamolo!
F (a) = f (a) - g (a) = 0

F (b) = f (b) - g (b) = 0.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Attenzione: tutto quanto detto valo solo ed esclusivamente se, all'interno dell'intervallo "ab", la funzione si mantiene continua e derivabile. In caso contrario possono esserci delle "cuspidi" o altre forme di "discontinuità" tali per cui non esisterà alcun punto per cui passa una tangente parallela ad "ab".
  • Il Teorema di Lagrange è anche detto Teorema del Valore Medio.
  • Per chiarirti le idee non ragionare mai per "compartimenti stagni": nella comprensione del Teorema di Lagrange, ad esempio, ti risulta molto utile il Teorema di Rolle che hai già studiato e del quale quello in parola è una possibile applicazione.

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