Come dimostrare il teorema di Gauss

Nella matematica tra i tanti teoremi noti, ce ne sono anche alcuni di particolare rilevanza che derivano da specifiche formule e prendono anch'essi il nome di coloro che li hanno enunciati. Tra questi nella presente guida parliamo del teorema del flusso, notoriamente conosciuto come di Gauss e che riguarda i campi vettoriali. In riferimento a questi ultimi il matematico nella sua legge afferma che quelli di tipo radiale sono dipendenti dal reciproco del quadrato della distanza dall'origine, ed hanno un determinato flusso quando attraversano una qualsiasi superficie chiusa. Dopo questa lunga premessa, vediamo nel dettaglio come dimostrare il teorema di Gauss.

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Il teorema di Gauss in sostanza analizza la derivazione elettrostatica, ovvero permette di calcolare il campo elettrico che riesce a genere le suddette cariche su una data superficie. A questo punto dopo aver sintetizzato il concetto del teorema, possiamo procedere con la fase di dimostrazione attraverso l'enunciazione delle formule. Per iniziare va subito detto che su una qualsiasi superficie di tipo chiuso, il flusso elettrico totale che l'attraversa è pari a 1 / ? volte la carica totale racchiusa sulla stessa. Da ciò ne deriva la seguente formula: ?E = ?E.dS = q / ? dove ? è la permittività del mezzo; ?E.dS è la parte integrale di superficie chiusa e q ne è invece la carica presente. La superficie chiusa in tal caso (immaginaria) si chiama proprio gaussiana.

Dopo aver spiegato nei dettagli i simboli algebrici e il loro significato nel teorema di Gauss, è opportuno adesso dimostrarlo con un esempio descrittivo. In tal caso consideriamo una sorgente che produce un campo elettrico che denominiamo E ed una carica + q situata in un punto O all'interno di un volume racchiuso da una superficie chiusa S. Detto ciò, supponiamo di avere un piccolo elemento di area ds attorno a un punto P sulla superficie, in cui il campo elettrico ha prodotto la carica + q. Se E è lungo OP ed il vettore area dS è lungo come quello tracciata verso l'esterno dell'area dS, allora il flusso elettrico d? attraverso l'elemento di area dS è dato dalla seguente formula: d? = E.dS = EdS cos? dove ? è l'angolo tra E e dS ed è quindi zero gradi. A questo punto sostituendo il valore di E nell'equazione, otteniamo la seguente formula specifica del teorema di Gauss ovvero: d? = E.dS = q / 4??0dS / r2.

L'equazione descritta nel passo precedente della guida rappresenta dunque la dimostrazione della legge di Gauss per l'elettrostatica di una singola carica puntiforme. Se tuttavia la fonte che produce il campo elettrico ha più di un punto di carica come + q1, + q2, + q3, -q4 etc, allora il flusso totale sarebbe la somma algebrica di tutti i flussi come riportato ad esempio nella seguente formula: ? = ?E.dS = 1 / ?0 (q1 + q2 + Q3-Q4 etc). Da ciò si dimostra che una carica elettrostatica al di fuori della superficie gaussiana non genera mai nessun flusso elettrico.

• Dimostrazione teorema di Gauss