Come dimostrare il Teorema di Cantor

tramite: O2O
Difficoltà: media
14

Introduzione

Il Teorema di Cantor è un risultato di notevole rilievo nell'ambito della Teoria degli Insiemi che riguarda il rapporto in termini di equipotenza tra un insieme S - sia esso finito o infinito - ed il suo insieme delle parti P (S). Tale risultato è evidente quando si ha a che fare con gli insiemi finiti, meno quando si ha a che fare con gli insiemi infiniti ed è proprio per questo che è di notevole entità: infatti, se un insieme S è infinito, tale è anche il suo insieme delle parti e per il Teorema di Cantor i due infiniti non sono dello stesso tipo bensì un infinito risulta essere più potente dell'altro! In questa guida vedremo come dimostrare questo teorema e scopriremo una sua immediata ed importante conseguenze.

24

Ll'enunciazione del teorema

Cominciamo subito con l'enunciare il teorema. Teorema di Cantor: dato un insieme S non vuoto, non esiste alcuna applicazione suriettiva di S in P (S). Conseguenza immediata del teorema è il fatto che un insieme non vuoto S non può essere equipotente al suo insieme delle parti P (S): infatti due insiemi sono equipotenti se e solo se esiste tra essi un'applicazione biiettiva (e nella pratica questo significa dire che hanno lo stesso numero di elementi).

34

Dimostrazione

Dati l'insieme non vuoto S ed il suo insieme delle parti P (S), si vuole provare che quale che sia l'applicazione f di S in P (S) questa non può essere suriettiva. Consideriamo allora il sottoinsieme X di S formato da quegli elementi di S che non appartengono al sottoinsieme di S preso da P (S) ed a loro associato tramite f. Essendo X un sottoinsieme di S, esso appartiene a P (S); mostriamo che questo X rende l'applicazione non suriettiva, mostriamo cioè che questo X non è associato ad alcun elemento di S: questo significa far vedere che non c'è alcun elemento x di S tale per cui f (x) = X. La dimostrazione procede per assurdo. Supponiamo allora, per assurdo, che possa esistere un x elemento di S tale che f (x) = X, il che significa che ad x è associato il sottoinsieme X di S.

Continua la lettura
44

Le conseguenze

Il Teorema di Cantor ha delle importantissime conseguenze nell'ambito della Teoria degli Insiemi. In particolare il Teorema di Cantor mostra che l'insieme dei numeri naturali N non è equipotente al suo insieme delle parti P (N): la potenza di P (N) è maggiore di quella di N e si chiama potenza del continuo. A questa potenza è collegata la cosiddetta ipotesi del continuo, di fondamentale importanza in Matematica: infatti dalla sua negazione o accettazione dipende l'esistenza di un universo Matematico rispettivamente più ricco (ma meno gestibile) o meno ricco (ma più gestibile) di risultati.

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Come dimostrare la non numerabilità dell'insieme R

L'esempio più noto di un insieme non numerabile è l'insieme R di tutti i numeri reali; l'argomento diagonale di Cantor dimostra che questo insieme è incalcolabile. La tecnica della diagonalizzazione può anche essere usata per mostrare che molti altri...
Università e Master

Teorema di Hartogs (teoria degli insiemi): dimostrazione

La matematica è una materia tanto affascinante quanto complessa. Una volta capita e compresi i suoi meccanismi studiarla risulterà molto più semplice, e in alcuni casi anche divertente. In questa guida parlerò di teoria degli insiemi, in particolare...
Università e Master

Teorema di Binet: dimostrazione

Come ben saprete, ogni materia rappresenta sempre una componente di ricerca e approfondimento da parte degli studiosi. La costante ricerca occorre per giungere con totale soddisfazione a svolgere l'attività lavorativa con dedizione e professionalità....
Università e Master

Teorema di Heine-Borel: dimostrazione

Il Teorema di Heine-Borel afferma che un sottospazio di R^n (con la solita topologia) è compatto se e solo se è chiuso e limitato. Tale teorema può essere dimostrato mediante quello di Bolzano-Weierstrass. Inoltre, in chiave moderna è certamente possibile...
Università e Master

Teorema dell'infinità dei numeri primi: dimostrazione

La matematica è da sempre la materia più complicata sia per i bambini delle scuole elementari, sia per gli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà è dovuta soprattutto al fatto che i concetti sono tutti collegati...
Università e Master

Teorema del grafico chiuso: dimostrazione

Riuscire ad imparare la dimostrazione il teorema del grafico chiuso non è una cosa semplice da riuscire a fare, ma tuttavia cercheremo oggi di aiutarvi in tutto ciò in modo propedeutico e forse ciò che faremo vi potrà inizialmente sembrare strano,...
Università e Master

Come dimostrare il teorema della permanenza del segno

Durante gli studi relativi ad una tipologia di specie analitica, si inserisce il cosiddetto teorema della permanenza del segno. Tale applicazione moderatamente complessa, serve per dimostrare la veridicità di una funzione, che ha limite denominato mediante...
Università e Master

Teoremi di Gerschgorin: dimostrazione

Tra i vari teoremi studiati nella scuola odierna, bisogna sicuramente tener conto dei "Teoremi di Gerschgorin". Inizalmente, la dimostrazione di questo specifico teorema potrebbe sembrarvi piuttosto complessa, ma con un po' di attenzione ed impegno potrete...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.