Come dimostrare il Teorema di Cantor

Il Teorema di Cantor è uno dei cardini della Teoria degli Insiemi che riguarda il rapporto in termini di equipotenza tra un insieme S - sia esso finito o infinito - ed il suo insieme delle parti P (S). Tale risultato è evidente quando si ha a che fare con gli insiemi finiti, meno quando si ha a che fare con gli insiemi infiniti ed è proprio per questo che è di notevole entità: infatti, se un insieme S è infinito, tale è anche il suo insieme delle parti e per il Teorema di Cantor i due infiniti non sono dello stesso tipo bensì un infinito risulta essere più potente dell'altro! In questa guida vedremo come dimostrare questo teorema e scopriremo una sua immediata ed importante conseguenze. Vediamo quindi come dimostrare il teorema di Cantor.

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Il teorema di Cantor viene incluso nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenker ed afferma che dato un insieme, a prescindere dalla sua cardinalità, ne esiste sempre uno di cardinalità maggiore, affermazione che sta alla base della teoria dell'infinito in matematica e della distribuzione dei numeri, dagli interi fino ai complessi. Dato un insieme S non vuoto, non esiste alcuna applicazione suriettiva di S in P (S). Conseguenza immediata del teorema è il fatto che un insieme non vuoto S non può essere equipotente al suo insieme delle parti P (S): infatti due insiemi sono equipotenti se e solo se esiste tra essi un'applicazione biettiva (e nella pratica questo significa dire che hanno lo stesso numero di elementi). La biettività indica che la corrispondenza degli elementi è univoca, quindi identificarne uno in un insieme significa automaticamente individuarne uno ed uno solo nell'altro.

Dati l'insieme non vuoto S ed il suo insieme delle parti P (S), si vuole provare che quale che sia l'applicazione f di S in P (S) questa non può essere suriettiva. Consideriamo allora il sottoinsieme X di S formato da quegli elementi di S che non appartengono al sottoinsieme di S preso da P (S) ed a loro associato tramite f. Essendo X un sottoinsieme di S, esso appartiene a P (S); mostriamo che questo X rende l'applicazione non suriettiva, mostriamo cioè che questo X non è associato ad alcun elemento di S: questo significa far vedere che non c'è alcun elemento x di S tale per cui f (x) = X. La dimostrazione procede per assurdo. Supponiamo allora, per assurdo, che possa esistere un x elemento di S tale che f (x) = X, il che significa che ad x è associato il sottoinsieme X di S.

Il Teorema di Cantor ha delle importantissime conseguenze nell'ambito della Teoria degli Insiemi. In particolare il Teorema di Cantor mostra che l'insieme dei numeri naturali N non è equipotente al suo insieme delle parti P (N): la potenza di P (N) è maggiore di quella di N e si chiama potenza del continuo. A questa potenza è collegata la cosiddetta ipotesi del continuo, di fondamentale importanza in Matematica: infatti dalla sua negazione o accettazione dipende l'esistenza di un universo Matematico rispettivamente più ricco (ma meno gestibile) o meno ricco (ma più gestibile) di risultati. L'ipotesi del continuo afferma sostanzialmente che non esistono due numeri reali separati da un vuoto, ossia che se nel caso per esempio degli interi, fra due numeri contigui c'è una spazio di una unità e nulla al suo interno, nel campo dei reali questo non accade. In parole povere, spostandosi infinitesimamente rispetto al valore di un dato numero, se ne trova sempre un altro, a prescindere da quanto piccolo sia lo spostamento. In base a questa teoria sono poi state analizzate le leggi che governano gli infinitesimi, alla ricerca dell'elemento primo che sta alla base dei numeri.

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