Come dimostrare il Teorema di Cantor

Il Teorema di Cantor è un risultato di notevole rilievo nell'ambito della Teoria degli Insiemi che riguarda il rapporto in termini di equipotenza tra un insieme S - sia esso finito o infinito - ed il suo insieme delle parti P (S). Tale risultato è evidente quando si ha a che fare con gli insiemi finiti, meno quando si ha a che fare con gli insiemi infiniti ed è proprio per questo che è di notevole entità: infatti, se un insieme S è infinito, tale è anche il suo insieme delle parti e per il Teorema di Cantor i due infiniti non sono dello stesso tipo bensì un infinito risulta essere più potente dell'altro! In questa guida vedremo come dimostrare questo teorema e scopriremo una sua immediata ed importante conseguenze.

Cominciamo subito con l'enunciare il teorema. Teorema di Cantor: dato un insieme S non vuoto, non esiste alcuna applicazione suriettiva di S in P (S). Conseguenza immediata del teorema è il fatto che un insieme non vuoto S non può essere equipotente al suo insieme delle parti P (S): infatti due insiemi sono equipotenti se e solo se esiste tra essi un'applicazione biiettiva (e nella pratica questo significa dire che hanno lo stesso numero di elementi).

Dati l'insieme non vuoto S ed il suo insieme delle parti P (S), si vuole provare che quale che sia l'applicazione f di S in P (S) questa non può essere suriettiva. Consideriamo allora il sottoinsieme X di S formato da quegli elementi di S che non appartengono al sottoinsieme di S preso da P (S) ed a loro associato tramite f. Essendo X un sottoinsieme di S, esso appartiene a P (S); mostriamo che questo X rende l'applicazione non suriettiva, mostriamo cioè che questo X non è associato ad alcun elemento di S: questo significa far vedere che non c'è alcun elemento x di S tale per cui f (x) = X. La dimostrazione procede per assurdo. Supponiamo allora, per assurdo, che possa esistere un x elemento di S tale che f (x) = X, il che significa che ad x è associato il sottoinsieme X di S.

Il Teorema di Cantor ha delle importantissime conseguenze nell'ambito della Teoria degli Insiemi. In particolare il Teorema di Cantor mostra che l'insieme dei numeri naturali N non è equipotente al suo insieme delle parti P (N): la potenza di P (N) è maggiore di quella di N e si chiama potenza del continuo. A questa potenza è collegata la cosiddetta ipotesi del continuo, di fondamentale importanza in Matematica: infatti dalla sua negazione o accettazione dipende l'esistenza di un universo Matematico rispettivamente più ricco (ma meno gestibile) o meno ricco (ma più gestibile) di risultati.