Prima di addentrarci nella dimostrazione, produciamo un esempio, in modo tale da avere chiaro il senso della dimostrazione. Consideriamo allora due insiemi S e T infiniti. Supponiamo di indicare con i numeri i primi elementi di S e con le lettere i primi elementi di T di modo che potremo inizialmente scrivere: S = {1,2,3,4,5,6, ?} e T = {a, b, c, d, e, f, ?}. Supponiamo a questo punto di avere un'applicazione iniettiva di S in T, che chiameremo F, le cui iniziali corrispondenze sono, per esempio, F (1)=c, F (2)=b, F (3)=e, F (5)=f mentre 4 e 6 vanno associati con elementi di T diversi da quelli elencati ed inoltre supponiamo che ci sia un elemento di S non in elenco che va associato con a. Supponiamo anche di avere un'applicazione iniettiva di T in S, che chiameremo G, le cui iniziali corrispondenze sono, per esempio, G (a)=1, G (b)=2, G (c)=4, G (d)=5, G (e)=6 mentre f va associato con un elemento di S che non è tra quelli elencati. Prendiamo adesso gli elementi di T, uno per volta, e costruiamo una sequenza grazie alle due funzioni F e G, mettendo in successione gli elementi secondo le corrispondenza sopra riportate. Per esempio: se prendo a posso far seguire 1 (perché G (a)=1), e dopo 1 posso far seguire c (perché F (1)=c), e dopo c posso far seguire 4 (perché G (c)=4), dopo di che non posso aggiungere alcun altro elemento perché non conosco 4 con chi va associato per mezzo di F, inoltre non so F quale elemento di S abbia associato ad a ma so che l'ha fatto (lo abbiamo detto sopra), quindi la mia sequenza è ?, a,1, c,4, ? Se invece prendo b, la sequenza è 2, b,2. Se invece prendo e la sequenza è 3, e,6, ? Se prendo d la sequenza è d,5, f, ? Cosa si vede? Si vede che si formano delle sequenza in cui o il primo elemento è in S (sequenza 3, e,6?) o è in T (sequenza d,5, f, ?) oppure non sappiamo dove sia (sequenza ?, a,1, c,4, ?) oppure primo e ultimo elemento coincidono (sequenza 2, b,2). Poiché F e G sono invettive non possono esserci due sequenze che differiscano per un termine, ovvero tutte le sequenza sono uniche. Più precisamente, sono unici i primi due termini di ogni sequenza. E sono proprio i primi due termini di ogni sequenza, presi in coppia, ad indicare l'associazione da compiere per costruire l'applicazione biiettiva H. Per esempio: vogliamo capire chi associare al 3 di S? Prendiamo la sequenza 3, e,6, ? i cui primi due termini sono 3, e. Allora è H (3)=e. Vogliamo capire chi associare al 5? Prediamo la sequenza d,5, f, ? i cui primi due termini sono d,5. Allora è H (5)=d. Vogliamo capire chi associare a 1 e 4? Prendiamo la sequenza ?, a,1, c,4, ?: se usiamo F allora è H (1)=c e, di conseguenza, H (4)=c, se invece usiamo G, abbiamo H (1)=a e H (4)=c! L'immagine a lato può aiutare a capire quanto è stato fatto.