come dimostrare il teorema delle tre perpendicolari

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il teorema delle tre perpendicolari si occupa di studiare alcune caratteristiche della posizione di due linee rette e delle sue perpendicolari. Nel piano due rette sono perpendicolari, se si incontrano formando angoli uguali, che si possono definire così retti. Due segmenti si dicono perpendicolari se tali sono le rette cui essi appartengono. Nel caso di rette nello spazio, esse sono incidenti se esiste un piano (unico) che le contiene entrambe. Vediamo allora come dimostrare il teorema delle tre perpendicolari.

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Occorrente

  • Foglio
  • Penna
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Molti teoremi geometrici e trigonometrici studiano delle proprietà collegate alla perpendicolarità. In un sistema di coordinate cartesiane ortogonali gli assi di riferimento (x, y, z), potranno essere mutuamente perpendicolari. Ogni triangolo rettangolo è definito da due segmenti perpendicolari, i suoi cateti: i cateti di triangoli rettangoli servono a definire alcune funzioni angolari che andremo così a studiare con questo teorema.


Per mostrare che la retta r è perpendicolare al piano individuato dai punti ABC, essendo r per ipotesi già perpendicolare a BC, basterà mostrare che è anche perpendicolare ad un'altra retta del piano, cioè alla retta AC sulla retta r da parti opposte rispetto a C. Consideriamo due punti D ed E tali che DC = CE. Consideriamo il triangolo BDE, esso ha l'altezza BC che è anche mediana e quindi è un triangolo isoscele ed avrò BD = BE. Ora i triangoli rettangoli ABD ed ABE: sono rettangoli perché le rette BD e BE passano per il punto d'incontro tra la perpendicolare ed il piano. Posseggono inoltre AB in comune.

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Per un criterio di congruenza dei triangoli rettangoli avremo che i due triangoli sono congruenti ed in particolare avranno AD = AE. Il triangolo ADE; avendo due lati uguali AD = AE sarà isoscele e quindi la sua mediana AC sarà anche l'altezza; quindi AC è perpendicolare a DE cioè ad r. Essendo r perpendicolare a due diverse rette AC ed AD del piano individuato da ABC per il criterio di perpendicolarità la retta r sarà perpendicolare al piano.

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Avendo definito la perpendicolarità fra due rette, possiamo dunque estendere la definizione ai piani. In particolare, una retta ed un piano incidenti si dicono perpendicolari se la retta è perpendicolare a qualsiasi retta del piano passante per il punto in comune con la retta data. Affinché la condizione sia soddisfatta, è sufficiente che la retta data sia perpendicolare a due di queste, dimostrando la validità del teorema.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Possiamo dimostrare il teorema anche sul piano cartesiano
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