Come dimostrare il teorema dell'angolo esterno

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Difficoltà: media
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Introduzione

La geometria comprende lo studio delle figure geometriche piane e solide e anche delle rette, degli angoli, dei perimetri, dei volumi e delle aree che in questa guida sarà illustrato. Il teorema dell'angolo esterno riveste una notevole importanza nel sistema della geometria di Euclide; in particolare è essenziale per dimostrare alcuni risultati riguardanti le rette parallele. Questo teorema esprime una disuguaglianza e precisamente il fatto che in un triangolo l’angolo esterno (quello formato da un lato e dal prolungamento di un altro lato) sia maggiore degli altri due angoli interni. La dimostrazione, si basa su una costruzione geometrica e richiede il primo criterio di uguaglianza dei triangoli. Ecco come dimostrare correttamente il teorema dell'angolo esterno.

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Enunciato del Teorema

Un angolo esterno di un triangolo forma una coppia lineare con l'angolo interno adiacente. I due non adiacenti interni sono chiamati remoti. La misura dell'angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma della misura dei suoi angoli interni. Per dimostrare il teorema degli angoli esterni generati da due parallele tagliate da una trasversale è necessario compiere un percorso che inizia col teorema degli angoli opposti e che prosegue con il criterio di parallelismo. Osserverete anche come l’affermazione che gli angoli esterni sono uguali.

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Disegno dei triangoli

Disegnate un triangolo qualsiasi, che chiamerete ABC. Ora scegliete uno dei tre lati e prolungatelo: ad esempio, il lato BC. Individuate il punto medio del lato AC, cioè il punto che divide in due la linea retta che passa dal punto A al punto C. Lo chiamerete E. Ora, tracciate una retta BF che passa dal punto B al punto E e prolungatela finché il lato BE non risulta uguale a EF. Tracciate il triangolo EFC tracciando una linea che unisce i punti F e C.
Esiste anche un secondo teorema dell'angolo esterno, che afferma che in un triangolo ogni angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti ad esso. Prendete un triangolo isoscele ABC il cui lato AC è uguale a BC, mentre gli angoli BAC e ABC sono congruenti. Ora prolungate la base del triangolo AB, ottenendo la nuova retta BD. Costruite un nuovo triangolo collegando i punti C e D.

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Dimostrazione del teorema

Osservando i due triangoli ABE e EFC potete trarre due osservazioni. I lati AE e EC hanno la stessa lunghezza, poiché E è il punto medio che divide la retta AC in due parti uguali.
Essendo i due triangoli congruenti, l'angolo EAB è uguale all'angolo ECF. Possiamo dimostrare così che l'angolo esterno ECD è maggiore dell'angolo interno non adiacente EAB.

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