Come dimostrare il teorema dei seni

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il teorema dei seni (conosciuto anche come Teorema di Eulero) consente la risoluzione dei triangoli qualunque. Per riuscire a dimostrarlo in maniera efficace bisogna però possedere i "giusti" requisiti ossia le corrette nozioni di base. In questo senso si rivela essenziale aver già studiato quella parte di matematica che prende il nome di goniometria la quale, se correttamente "padroneggiata" consente di dimostrare problemi dapprima di geometria piana ed in seguito anche solida grazie, sopratutto al teorema dei seni. Ecco quindi che, dopo le necessarie premesse, vedremo nel dettaglio alcuni semplici consigli su come dimostrare il già citato teorema dei seni in modo semplice ed intuitivo massimizzando il tempo disponibile. Seguitemi nel dettaglio e procediamo.

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Occorrente

  • Conoscenze di goniometria
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Iniziamo con l'enunciare il teorema di cui abbiamo parlato e cioè il teorema dei seni. In base alle regole fissate da quest'ultimo le misure dei lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti. Procediamo, conseguentemente, con una dimostrazione a titolo di esempio: sia ABC un triangolo qualunque, dobbiamo dimostrare che a / sena = b / senb = c / senc. La tesi ricercata discende direttamente dal teorema della corda. Per procedere con la dimostrazione consideriamo la circonferenza circoscritta al triangolo.

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Successivamente potremo notare che applicando ad ogni lato del triangolo il teorema della corda si otterrà: a = 2R sena, b = 2R senb, c = 2R senc essendo 2R il diametro. Ne derivano, come diretta conseguenza, le uguaglianze riportate di seguito: a / sena = 2R, b / senb = 2R ed infine che c / senc = 2R e proprio da queste relazioni scaturisce la tesi: a/ sena = b / senb = c / senc = 2R. Dunque, analizzando bene quanto già detto, si nota una dimostrazione pratica del teorema della corda; tuttavia sono possibili alcune osservazioni aggiuntive ed ugualmente importanti.

Continua la lettura
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Poiché il valore dei rapporti è uguale al diametro della circonferenza circoscritta, il teorema dei seni può anche essere enunciato utilizzando l'espressione che segue: "in un triangolo il rapporto di proporzionalità tra la misura di ciascun lato e il seno dell'angolo ad esso opposto è uguale al diametro della circonferenza circoscritta". Da ultimo è possibile dimostrare il teorema dei seni utilizzando il teorema relativo specificatamente alla determinazione dell'area del triangolo. Data la particolarità e specificità dei concetti, come già detto, è sempre consigliabile un preventivo e frequente ripasso degli elementi a fondamento della goniometria.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • E' sempre opportuno e consigliato un preventivo ripasso delle nozioni fondamentali

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