Come dimostrare il secondo teorema di Euclide

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

I teoremi di Euclide sono una delle basi fondamentali della geometria, utili per capire e svolgere un problema incentrato sui triangoli rettangoli. Solitamente vengono spiegati nelle scuole medie, tuttavia risultano essere importanti anche nelle classi successive, dal momento che trattano di figure e casi ricorrenti nelle esercitazioni. Grazie ad essi si riesce a calcolare la misura dei segmenti caratteristici di un triangolo rettangolo, ovvero i due cateti e l'ipotenusa, con annesse le loro proiezioni. I teoremi di Euclide sono due: in questa guida ci occuperemo del secondo, e in particolare di come dimostrare il suo risultato.

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Occorrente

  • Un buon manuale di matematica
  • Calcolatrice
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Definizione

Il secondo teorema di Euclide è dunque utile per calcolare l'ipotenusa, i due cateti o le proiezioni di essi, avendo comunque a disposizione dei dati forniti dal problema. Le proiezioni non sono altro che i segmenti generati dall'altezza, cioè quella linea immaginaria che partendo da un punto A, per esempio, divide il cateto sul quale finisce in due parti distinte (formando il punto AH). Posta questa condizione, il teorema afferma che dato un triangolo rettangolo, se costruiamo un quadrato sull'altezza dell'ipotenusa, questo equivale a un rettangolo che è formato dalle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. La formula coinvolge tre grandezze, per cui basterà conoscerne due per calcolare quella mancante, a seconda della richiesta del problema.

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Dimostrazione

Prendiamo in esame un triangolo rettangolo con segmenti ABC e altezza BH. Considerando che AB è l'ipotenusa (il segmento più lungo), BC è il cateto minore, AC quello maggiore e BH l'altezza, ABH e BCH formano due triangoli diversi. In particolare, si notano delle congruenze tra gli angoli BCH e ABH: questo è il primo criterio per affermare che i due triangoli all'interno della figura (ABH e BCH) sono congruenti. La formula enunciata nel secondo teorema di Euclide stabilisce dunque la proporzione: CH: BH = BH: AH. Un'alternativa equivalente è: BH^2 = CH x AH (dove x sta per moltiplicazione, non incognita).

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Esercitazione

Facciamo ora un esempio concreto di applicazione del teorema. Abbiamo un triangolo rettangolo (ABC, con altezza BH), e dobbiamo calcolarne l'altezza relativa all'ipotenusa conoscendo le misure delle proiezioni dei due cateti, cioè CH e AH: il minore è lungo 12 cm, il maggiore 30 cm. Applichiamo dunque la proporzione CH: BH = BH: AH. Se CH è la proeizione del cateto minore e BH è la proiezione del cateto maggiore, sostituiamo i termini alla formula. Ne risulta: 12: x = x : 30. Moltiplicando estremo per estremo, la proporzione si risolve con: AH^2 = 12 x 30, cioè AH^2 = 360. La radice quadrata di 360, e dunque il risultato finale, è 18,97 cm, pari all'altezza BH.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Studiate bene le regole e le formule, ripassando anche i teoremi di Pitagora relativi ai triangoli, poi dedicatevi al problema.
  • Fate attenzione alle informazioni che vi fornisce il problema: per aiutarvi, disegnate una figura dettagliata con tutti i dati presenti.
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