Come dimostrare il primo teorema di Euclide

Tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Tra i matematici più importanti e che hanno contribuito a fondare le basi della geometria piana, un posto fondamentale è occupato da Euclide. Fu proprio il matematico greco a teorizzare due teoremi importantissimi che permettono di mettere in relazione le misure dei cateti, dell'ipotenusa e dell'altezza di un triangolo rettangolo con le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. In questa guida ci occuperemo di come dimostrare il primo teorema di Euclide.

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Occorrente

  • Manuale di geometria
  • Formulario
  • Matita
  • righello
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Enunciato

Il primo teorema di Euclide dice che, in un triangolo rettangolo ABC, avendo in A un angolo retto e quindi di 90 gradi, il quadrato costruito su uno dei suoi due cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull'ipotenusa e l'ipotenusa stessa. È un teorema che mette in relazione tre elementi del triangolo rettangolo: l'ipotenusa, un cateto e la sua proiezione sull'ipotenusa. Prima di dimostrare il primo teorema di Euclide è bene fare chiarezza su cosa si intenda per "proiezione dei cateti sull'ipotenusa". Possiamo pensare a queste proiezioni come a delle ombre che vengono proiettate dai cateti sull'ipotenusa. Più specificamente pensiamo al nostro triangolo rettangolo ABC con A angolo retto e CB la sua ipotenusa. Tracciamo l'altezza relativa all'ipotenusa e chiamiamo H il suo piede. In questo modo, l'ipotenusa viene divisa da H in due segmenti (non necessariamente congruenti) che chiameremo CH e HB. CH è la proiezione del cateto CA sull'ipotenusa, mentre HB è la proiezione di BA sull'ipotenusa. Ricordiamo infine che la somma di CH e HB equivale alla misura dell'ipotenusa.

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Dimostrazione con l'equivalenza

Per prima cosa disegniamo il nostro triangolo rettangolo ABC avente in A l'angolo di 90 gradi. Costruiamo sul cateto AB un quadrato ADEB e sia HB la sua proiezione sull'ipotenusa CB. Costruiamo poi il rettangolo HBLM avente BL congruente all'ipotenusa CB. Prolunghiamo poi il lato ED del quadrato dalla parte di D fino ad incontrare nel punto F la retta che contiene il segmento BL e nel punto G la rette che contiene il segmento MH. Dimostriamo allora che il quadrato ADEB e il rettangolo HBLM sono equivalenti. Consideriamo per prima cosa i triangolo ABC e il nuovo triangolo BFE. Sappiamo che BA è congruente a BE per costruzione. Sappiamo anche che l'angolo A del triangolo ABC e l'angolo E del triangolo BFE sono congruenti perché retti. Infine sappiamo che l'angolo B del triangolo ABC e l'angolo B del triangolo BFE sono congruenti perché sono angoli complementari. Dunque, grazie al secondo criterio di congruenza dei triangoli, i triangoli ABC e BFE sono congruenti e, in particolare, le ipotenuse dei sue triangoli sono congruenti. Torniamo allora a considerare il quadrato ADEB e il rettangolo HBLM. Entrambi hanno la stessa base AB e la stessa altezza DB e di conseguenza sono equivalenti. Consideriamo ora il parallelogramma FBAG e il rettangolo HBLM. Le loro basi sono congruenti (FB è congruente a CB per dimostrazione precedente, CB è congruente a BL per costruzione, quindi FB è congruente a BL per la proprietà intransitiva della congruenza) e hanno anche la stessa altezza (FB e BL appartengono alla stessa retta e così pure AG e HM) e quindi sono equivalenti. Per la proprietà transitiva dell'equivalenza, Il quadrato ADEB è equivalente al rettangolo HBLM.

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Dimostrazione con la proporzione

Vi è un ulteriore metodo per dimostrare il teorema euclideo. Sapendo infatti che il cateto di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull'ipotenusa possiamo tradurre in formula: CB:AB=AB:HB (ovviamente facciamo sempre riferimento al triangolo rettangolo disegnato in precedenza). Pertanto, possiamo scrivere questa relazione come AB^2=CB.HB (il quadrato di AB equivale al prodotto di CB e HB). Si considerano in questo caso i triangoli ABC e ABH. Questi hanno tutti gli angoli congruenti dal momento che sono entrambi rettangoli e hanno l'angolo in B in comune. Sono anche simili grazie al primo criterio di similitudine. Da questo, allora, si ricava la proporzione precedente: CB:AB=AB:HB.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Consultando un buon manuale di geometria e facendo esercizi si potrà imparare molto facilmente il primo teorema di Euclide.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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