Come dimostrare il primo teorema di Euclide

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In geometria, uno degli argomenti più importanti è il primo teorema di Euclide. Esso può servire per svolgere numerosi problemi ed esercizi, nelle scuole elementari, medie e superiori. Indipendentemente dalla definizione, come dimostrare il primo teorema di Euclide è piuttosto semplice anche se necessita di alcune conoscenze base di algebra e geometria.

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Occorrente

  • Un buon libro di geometria
  • carta
  • penna
  • righello
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Definire il primo teorema di Euclide in teoria

Il primo teorema di Euclide si può esprimere con due definizioni, valide entrambe. Secondo il principio di equivalenza, il teorema di Euclide dimostra che: in ogni triangolo rettangolo si ha equivalenza tra il quadrato che ha per lato un cateto ed il rettangolo costituito dall’ipotenusa e dalla proiezione del cateto su di essa. Invece, secondo il principio di proporzione, in un triangolo rettangolo ogni cateto è proporzionale al rapporto tra l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto su di essa.

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Costruire la figura

Per dimostrare il teorema sono necessari carta e penna. Disegnare un triangolo con angolo retto chiamato ABC ed altezza AH. Disegnare ora un rettangolo R, che abbia il lato BC’ congruente a BC. Si chiama il lato BH la perpendicolare del cateto AB. Quindi, tracciare il quadrato Q. Secondo il primo teorema di Euclide, si deve dimostrare che R e il quadrato Q sono equivalenti.

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Dimostrare le equivalenze e congruenze nella figura

Bisogna dimostrare che ABC è un triangolo rettangolo. Quindi dimostrare che R è equivalente al quadrato Q. Costruire la figura ABFG. Si deve prima scoprire se il quadrato Q è uguale al parallelogramma P. Solo successivamente, verificare se P è anche equivalente a R, secondo la regola transitiva dell'equivalenza.
Esaminando accuratamente la figura disegnata, si notano diverse cose. La base di P e Q coincide.
Inoltre l’altezza AE del quadrato è anche l’altezza del parallelogramma.
Considerare, ora che P e Q hanno la medesima altezza. Non resta che dimostrare che le basi dio P e R sono congruenti, ovvero che BC' = FB. Per costruzione, BC' è congruente all'ipotenusa BC.
Dimostrare che FB è uguale a BC.
Considerate i triangoli BDF e ABC. Notare che hanno gli angoli BAC e BDF uguali, in quanto entrambi angoli retti.
Anche i lati AB e BD sono uguali, poiché lati del quadrato Q.
Per il secondo criterio di congruenza dei triangoli, quindi, si può dichiarare che i due triangoli sono congruenti.
Si sa anche che BC è uguale a BF. Di conseguenza, avendo anche la base congruente, R e P sono equivalenti.
In conclusione il quadrato Q è uguale alla costruzione P. Inoltre la figura P è uguale al rettangolo R.
Per la regola transitiva dell'equivalenza, il quadrato Q è equivalente a R. Ecco il primo teorema di Euclide finito.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Uno studio accurato e meticoloso dell’argomento vi aiuterà a risolvere facilmente i problemi relativi al primo teorema di Euclide.

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