Come dimostrare il metodo delle potenze

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
14

Introduzione

Per metodo delle potenze intendiamo un complesso di operazioni matematiche atte a calcolare, in una matrice, l'autovalore dominante. Per autovalore intendiamo, in matematica, e precisamente in algebra lineare, un vettore, che moltiplicato per uno scalare, genera, a seguito di questa moltiplicazione, l'autovalore. Da questi autovalori è possibile utilizzare il metodo delle potenze che serve proprio a dimostrare l'autovalore. Ecco come utilizzare questo metodo. Diamo inizio dunque a questa guida su come dimostrare il metodo delle potenze.

24

Questo metodo è un metodo matematico con il quale, come detto nell'introduzione, è possibile calcolare una stima dell’autovalore dominante di una matrice e dell’autovettore ad esso associato. Ma a cosa serve conoscere l'autovalore dominante? La conoscenza dell’autovalore dominante permette di avere informazioni sulla stabilità delle soluzioni di sistemi dinamici provenienti da diverse applicazioni dell’ingegneria e delle scienze applicate. Infatti questo metodo è utilizzato soprattutto nell'ingegneria e nella fisica.

34

Cosa spinge poi ad utilizzare il metodo delle potenze? La risposta è presto detta: il metodo delle potenze ha un costo computazionale molto inferiore rispetto ad un altro metodo matematico molto più complesso: il metodo QR. Se però abbiamo la necessità di calcolare non solo tutti gli autovalori, ma anche gli autovettori associati ad una matrice abbiamo la possibilità di utilizzare una variante del metodo delle potenze: il metodo delle potenze inverse. Questo metodo unisce i 2 metodi: metodo delle potenze e metodo QR permettendo anche il calcolo di tutti autovalori dello spettro di una matrice e degli autovettori associati. Terminato questo secondo passo procedete a leggere il terzo ed ultimo passo che è forse quello più importante.

Continua la lettura
44

Il metodo delle potenze però non è esente da problemi di natura numerica, dato che l'esagerata mole di dati che produce può generare problemi di overflow (ossia produce numeri troppo grandi) o underflow (risultano dal metodo numeri troppo piccoli) in quanto gli elementi della matrice possono crescere o decrescere con velocità esponenziale. Come risolvere quindi questo problema? È necessario usare la tecnica di normalizzazione: questa tecnica che impone il vincolo che la successione dei vettori stia in un valore compreso tra 0 e 1 e che quindi questi valori non siano divergenti per evitare l’overflow e non infinitesimi per evitare l’underflow.  

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come mettere una matrice in fForma di Jordan

La forma canonica di Jordan è un caso generalizzato della diagonalizzazione di una matrice, processo che ricordiamo è possibile effettuare solo se esiste una base dello spazio rispetto alla quale la matrice di trasformazione è diagonale. Mettere una...
Università e Master

Teoremi di Gerschgorin: dimostrazione

Tra i vari teoremi studiati nella scuola odierna, bisogna sicuramente tener conto dei "Teoremi di Gerschgorin". Inizalmente, la dimostrazione di questo specifico teorema potrebbe sembrarvi piuttosto complessa, ma con un po' di attenzione ed impegno potrete...
Università e Master

Come trovare gli autovalori di una matrice

In questa guida verranno date utili informazioni su alcune nozioni di matematica. L'argomento trattato riguarderà il calcolo matriciale che vi permette di trovare tutti gli autovalori di una matrice specifica. È bene precisare che quest'ultima non è...
Superiori

Come risolvere le operazioni con le potenze

Purtroppo per molti di noi, la matematica è una materia veramente ostica e difficile da capire; più si va avanti negli anni scolastici, più l' insegnamento della matematica diventa ostico e ancora più difficile comprensione soprattutto per coloro...
Superiori

Come risolvere i monomi con le potenze

Chiunque abbia frequentato un liceo scientifico saprà sicuramente che i monomi sono essenzialmente delle espressioni algebriche con dei coefficienti e delle moltiplicazioni. Nulla vieta che questi coefficienti possano acquistare qualsiasi valore, naturalmente.In...
Superiori

Come risolvere le espressioni con le potenze

La matematica, è risaputo, è la bestia nera di molti studenti, ma in questo articolo, passo dopo passo, ti darò tutte le indicazioni necessarie su come risolvere le espressioni con le potenze. Sebbene molti ragazzi abbiano un po' di problemi a risolvere...
Superiori

Come risolvere le potenze a esponente razionale

La matematica è una materia piuttosto complessa e che richiede moltissimo studio e pratica per essere compresa al meglio. Non tutti ci riescono con naturalezza, e ogni tanto c'è bisogno di una mano in più per poter facilitare la comprensione. Tra gli...
Elementari e Medie

5 proprietà delle potenze

La potenza in matematica viene scritta nella forma a^n e si legge a elevato alla n. Si distingue la base (la “a”) e l’esponente (la “n”). L’esponente indica quante volte la base si moltiplica per se stessa: si può esprimere il concetto scrivendo...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.