Come dimostrare il metodo delle potenze

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Per metodo delle potenze intendiamo un complesso di operazioni matematiche atte a calcolare, in una matrice, l'autovalore dominante. Per autovalore intendiamo, in matematica, e precisamente in algebra lineare, un vettore, che moltiplicato per uno scalare, genera, a seguito di questa moltiplicazione, l'autovalore. Da questi autovalori è possibile utilizzare il metodo delle potenze che serve proprio a dimostrare l'autovalore. Ecco come utilizzare questo metodo. Diamo inizio dunque a questa guida su come dimostrare il metodo delle potenze.

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Questo metodo è un metodo matematico con il quale, come detto nell'introduzione, è possibile calcolare una stima dell’autovalore dominante di una matrice e dell’autovettore ad esso associato. Ma a cosa serve conoscere l'autovalore dominante? La conoscenza dell’autovalore dominante permette di avere informazioni sulla stabilità delle soluzioni di sistemi dinamici provenienti da diverse applicazioni dell’ingegneria e delle scienze applicate. Infatti questo metodo è utilizzato soprattutto nell'ingegneria e nella fisica.

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Cosa spinge poi ad utilizzare il metodo delle potenze? La risposta è presto detta: il metodo delle potenze ha un costo computazionale molto inferiore rispetto ad un altro metodo matematico molto più complesso: il metodo QR. Se però abbiamo la necessità di calcolare non solo tutti gli autovalori, ma anche gli autovettori associati ad una matrice abbiamo la possibilità di utilizzare una variante del metodo delle potenze: il metodo delle potenze inverse. Questo metodo unisce i 2 metodi: metodo delle potenze e metodo QR permettendo anche il calcolo di tutti autovalori dello spettro di una matrice e degli autovettori associati. Terminato questo secondo passo procedete a leggere il terzo ed ultimo passo che è forse quello più importante.

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Il metodo delle potenze però non è esente da problemi di natura numerica, dato che l'esagerata mole di dati che produce può generare problemi di overflow (ossia produce numeri troppo grandi) o underflow (risultano dal metodo numeri troppo piccoli) in quanto gli elementi della matrice possono crescere o decrescere con velocità esponenziale. Come risolvere quindi questo problema? È necessario usare la tecnica di normalizzazione: questa tecnica che impone il vincolo che la successione dei vettori stia in un valore compreso tra 0 e 1 e che quindi questi valori non siano divergenti per evitare l’overflow e non infinitesimi per evitare l’underflow.  

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