Come Dimostrare Ed Utilizzare Il Piccolo Teorema Di Fermat

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Il piccolo teorema di Fermat gioca un ruolo fondamentale nello studio delle congruenze e degli anelli ad esse associati. Il teorema, infatti, enuncia che un qualsiasi valore appartenente a Z elevato a p-1, se non divisibile per p è congruo a un modulo p. L'ultimo teorema di Fermat è una generalizzazione dell'equazione diofantea. Già antichi Greci e Babilonesi sapevano che questa equazione ha delle soluzioni intere, conosciute anche come "terne pitagoriche". Secondo l'ultimo teorema di Fermat non esistono soluzioni intere positive quando l'esponente è sostituito da un numero intero maggiore. Mentre il teorema stesso non si presta a nessuna applicazione, cioè non è stato usato per dimostrare altri teoremi, esso è particolarmente noto per la sua correlazione con molti argomenti matematici che apparentemente non hanno nulla a che vedere con la teoria dei numeri. La ricerca di una sua dimostrazione è stata all'origine dello sviluppo di importanti aree della matematica. Vediamo quindi come dimostrare ed utilizzare il piccolo teorema di Fermat.

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Occorrente

  • Un buon manuale di algebra
  • Carta e penna
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I primi passi della dimostrazione

Per prima cosa avrete bisogno che il modulo della congruenza sia un numero primo. Denotatelo con "p". Fatto ciò, create un insieme contenente tutti i numeri naturali minori di p e denotatelo con "S". A questo punto prendete "a", ovvero un intero non divisibile per p, e denotate con "(a, i)" il resto della divisione di "(a, i)" per p considerando solo gli "i" appartenenti all'insieme S. Ora è facile capire che p, poiché primo, non divide né a, né i.

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I passi successivi della dimostrazione

Di conseguenza, (a, i) apparterrà ad S. L'applicazione che da ogni i associa il corrispettivo (a, i) è una biezione, di conseguenza il prodotto dei vari (a, i) non sarà altro che "1*2*3*...*p-1", cioè "(p-1)". Proseguendo con i calcoli si ha che "a^(p-1) * (p-1)" sarà congruo a "(p-1)" in modulo "p". Di conseguenza, "p" dividerà "(a^(p-1)-1)(p-1)", ma poiché "p" è primo allora non può dividere "(p-1)". Esso dovrà dividere l'altro fattore, che dimostra il teorema.

Continua la lettura
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Il piccolo teorema di Fermat per le congruenze

Il piccolo teorema di Fermat risulta utilissimo per svolgere molte congruenze contenenti esponenti alti. Ad esempio, per risolvere la congruenza 2 alla 54 congruo X modulo 3 dovrete semplificare la congruenza facendo prima la congruenza 54 congruo Y modulo 2. Essa è facilmente risolvibile, poiché il resto della divisione tra 54 e 2 è 0. Di conseguenza, in modulo 3, scrivere un numero elevato alla 54 è come scrivere 2 alla 0. A questo punto la congruenza diventa banale: il risultato è 1, poiché 2 elevato alla 0 fa 1, il quale è congruo al modulo 3. Abbiamo terminato la nostra guida su come dimostrare ed utilizzare il piccolo teorema di Fermat. Per ulteriori informazioni consultate il link: https://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazioni_del_piccolo_teorema_di_Fermat

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Nel caso in cui non foste particolarmente pratici con la matematica, ed in particolare con i teoremi di algebra, rivolgetevi ad una persona con più esperienza di voi o ad un professore specializzato nella materia in questione.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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