Come dimostrare chiusura e esattezza di una forma differenziale

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In matematica e, in modo particolare, nel calcolo vettoriale e nella topologia differenziale, possiamo andare a definire cosa si intende per chiusura ed esattezza: una forma chiusa rappresenta una forma differenziale "α", la cui derivata esterna è zero (dα = 0); una forma esatta è una forma differenziale, che rappresenta la derivata esterna di un'altra forma differenziale "β". Pertanto, una forma esatta è a immagine di "d", mentre una forma chiusa è nel kernel di "d". La forma "β" è una "forma potenziale" o "primitiva" per α. Poiché d2 = 0, β non è unica, ma può essere modificata mediante l'aggiunta del differenziale di una forma a due step di ordine inferiore. Attraverso i passi di questa guida cercheremo di capire nel dettaglio come possiamo fare per dimostrare la chiusura e l'esattezza di una dorma differenziale.

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Innanzitutto, dobbiamo dire che qualsiasi forma esatta viene chiusa automaticamente: d2 è = 0. Se ogni forma chiusa è esatta, questo dipenderà dalla topologia del dominio di interesse. Su un dominio contrattile, ogni forma chiusa è esatta dal lemma di Poincaré; le questioni più generali di questo tipo, sono su una varietà differenziabile arbitraria, l'oggetto di "de Rham coomologia", che permette di ottenere tutta una serie di informazioni puramente topologiche, andando a utilizzare dei metodi differenziali.

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Su una varietà Riemanniana o, più in generale, su un collettore pseudo-Riemanniana, k-forme corrispondono a k-vettori campi (dalla dualità tramite la metrica), per cui si ha una nozione di un campo vettoriale che corrisponde a una forma chiusa o esatta. In 3 dimensioni, un campo vettoriale esatto viene chiamato anche campo vettoriale conservativo, nel senso che rappresenta la derivata (pendenza) di una funzione, che viene definita "potenziale scalare". Un campo vettoriale chiuso è quello la cui derivata si annulla, e viene definito col termine "campo vettoriale irrotazionale". Un campo vettoriale chiuso, invece, è quello il cui derivato (divergenza) svanisce e prende il nome di "campo vettoriale solenoidale", oppure "flusso incomprimibile".

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I campi vettoriali conservativi e incomprimibili possono generalizzare fino a n-dimensioni (gradiente e divergenza). Il lemma di Poincaré afferma che: se x è un sottoinsieme contraibile aperto di Rn, qualsiasi "α p-forma" liscia, chiusa e definita in x è esatta per ogni intero p> 0 (contenuto solo quando p ≤ n). La contrattilità si verifica quando c'è un un'omotopia, ovvero nel seguente caso: Ft= X [0,1] → x, che va a deformare continuamente x per un punto, così ogni ciclo c in x è il confine di "cono". Quando la differenza di due forme chiuse è una forma precisa, si dice anche che è "coomologo". Gli spazi non contrattabili non hanno bisogno di una banale coomologia di de Rham. L'insieme di tutte le forme coomologhe è chiamata "De Rham", e rappresenta proprio una delle classe della coomologia.

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Infine, è bene precisare che questo argomento può risultare particolarmente ostico ai non addetti ai lavori, pertanto è necessario, nel caso in cui si volesse comprendere appieno l'intero procedimento, andare a consultare un testo di matematica che possa fornire le basi di matematica necessarie per affrontare l'argomento.

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