Come dimostrare che una funzione è derivabile in un intervallo

Assai di frequente capita che uno studente di scuola superiore ma anche universitario sia chiamato a dimostrare la derivabilità di una funzione data in un determinato intervallo. Per riuscire nella prova è necessario padroneggiare con abilità concetti quali funzione derivabile e condizione di derivabilità, nonché la conoscenza di alcuni teoremi dei quali è opportuno avvalersi per riuscire nella dimostrazione. In questa guida, attingendo proprio ad alcuni di essi, vi spiegheremo come dimostrare che una funzione è derivabile in un intervallo.

• Teorema di Rolle, funzione di Lagrange

Per dimostrare che una funzione è derivabile in un intervallo occorre utilizzare alcuni basilari teoremi matematici. Nello specifico, i teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. La dimostrazione si evince, pertanto, attingendo alle norme che regolano uno di questi tre teoremi. In questa guida abbiamo deciso di utilizzarne uno dei tre, quello che riteniamo possa, a scopo esemplificativo, rappresentare il teorema che meglio degli altri riesce a dimostrare l'enunciato per semplicità e chiarezza. Ci stiamo riferendo al teorema di Rolle. Occorre proseguire nel modo che segue.

Iniziamo sostenendo che una funzione definita e continua in un intervallo [a, b] e derivabile in ]a, b[ è detta funzione di Lagrange [a, b]. A questo punto occorre enunciare il teorema di Rolle. Stabiliamo che f sia una funzione di Lagrange in [a, b] e per assurdo ragioniamo che f (a) sia uguale a f (b). Allora deve per forza esistere un punto x2]a, b[ tale che sia f0(x) uguale a 0. Date siffatte premesse, andiamo ora a dimostrare che una funzione è derivabile in un intervallo.

Ragioniamo come sempre per assurdo. Se fosse f (a) uguale a f (b) per ognuno di x 2 [a, b], di certo si potrebbe concludere che f0(x) sia uguale a 0 per ogni x 2]a, b[ e che quindi l'affermazione sarebbe vera e dimostrata. Ora supponiamo che f non sia però costante. In questo caso, in virtù dell'enunciato sancito dal teorema di Weierstrass, si deve ammettere un massimo e un minimo in [a, b]. Se poi un punto di massimo e un altro di minimo cadessero tutti e due ai punti estremi dell'intervallo e partendo dall'enunciato che f (a) è uguale a f (b), ne conseguirebbe facilmente che f' sia una costante in [a, b]. Ma questa affermazione andrebbe a contestare la nostra ipotesi. Quindi va da sé che uno dei tre i punti di massimo e minimo cadrà per forza all'interno dell'intervallo sopra descritto. Chiamiamo ora questo punto x. Quindi, grazie al teorema di Fermat, potremmo dire che f0(x) è uguale a 0. Ecco quindi dimostrato che una funzione è derivabile all'interno di un intervallo.

• Prima della dimostrazione studiate bene i concetti di funzione derivabile e condizione di derivabilità

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