Nel caso in cui f (a) sia uguale a f (b) per ognuno di x 2 [a, b], di certo si potrebbe concludere che f0(x) sia uguale a 0 per ogni x 2]a, b[ e che quindi l'affermazione sarebbe vera e dimostrata. Ora supponiamo che f non sia però costante. In questo caso, in virtù dell'enunciato sancito dal teorema di Weierstrass, si deve ammettere un massimo e un minimo in [a, b]. Se poi un punto di massimo e un altro di minimo cadessero tutti e due ai punti estremi dell'intervallo e partendo dall'enunciato che f (a) è uguale a f (b), ne conseguirebbe facilmente che f' sia una costante in [a, b]. Ma questa affermazione andrebbe a contestare la nostra ipotesi. Quindi va da sé che uno dei tre i punti di massimo e minimo cadrà per forza all'interno dell'intervallo sopra descritto. Chiamiamo ora questo punto x. Quindi, grazie al teorema di Fermat, potremmo dire che f0(x) è uguale a 0. Ecco quindi dimostrato che una funzione è derivabile all'interno di un intervallo.