Come dimostrare che un triangolo è isoscele

La geometria è un ramo della matematica che si occupa dello studio delle rette, delle semirette, dei segmenti, degli angoli, delle figure geometriche piane, delle figure geometriche solide e delle figure geometriche tridimensionali. Delle figure piane ne fanno parte i poligoni che possono essere regolari e irregolari e sono: i quadrati, i rettangoli, i rombi e i triangoli; mentre delle figure solide ne fanno parte: il cubo, il parallelepipedo, la piramide e la sfera. I triangoli presentano tre lati e tre angoli che possono essere uguali oppure differenti; esistono i triangoli equilateri che hanno tutti e tre lati uguali, i triangoli scaleni che presentano tre lati differenti e i triangoli isosceli che presentano due lati uguali e un lato differente. È possibile inoltre, calcolare sia l'area che il perimetro dei triangoli, una volta che si è a conoscenza della lunghezza dei lati. Per calcolare il perimetro è necessario sommare tutti i lati oppure moltiplicare la misura di un lato se il triangolo è equilatero per tre. Per calcolare l'are invece, sarà necessario moltiplicare la base per l'altezza e dividere per due. Nella seguente guida vedremo quindi come dimostrare che un triangolo è isoscele.

• Fogli a quadretti
• Penna o matita

Il triangolo isoscele è una figura geometrica piana avente due lati uguali e una base più piccola rispetto ad ogni singolo lato. Di conseguenza, anche i due angoli della base saranno identici rispetto all'angolo formato tra i due lati, che invece sarà più piccolo. Per affermare che una figura geometrica è tale come definita, occorre eseguire la dimostrazione. Esistono due tipi di classificazione dei triangoli: una in base agli angoli e una in base ai lati. Fanno parte del primo gruppo i triangoli acuti, ottusi e rettangoli. Vengono chiamati acuti o acutangoli i triangoli che hanno tutti i tre angoli inferiori a 90°, ottusi o ottusangoli quelli che contengono un angolo superiore ai 90°e rettangoli quelli che possiedono un angolo di esattamente 90 gradi.

Fanno parte del secondo gruppo quelli scaleni, isosceli ed equilateri. I triangoli scaleni hanno la caratteristica di possedere tutti e tre i lati di diversa lunghezza, i triangoli isosceli invece presentano due lati della stessa misura. I triangoli equilateri, possono essere considerati un sottoinsieme degli isosceli in quanto presentano anche il terzo lato congruente agli altri due. Un particolare sottoinsieme dei triangoli isosceli sono i triangoli equilateri e i triangoli isosceli rettangoli. Iniziamo disegnando un triangolo ABC con base BC e tracciamo la retta AH, dove H è il punto in cui la bisettrice dell'angolo in A interseca la base BC.

Presupponiamo di conoscere che i lati AC e AB sono uguali; quindi, ci sarà sufficiente dimostrare che gli angoli alla base sono congruenti per dimostrare che anche AC e AB hanno la stessa lunghezza e quindi che il triangolo è isoscele. L'angolo BAH è congruente all'angolo BHC in quanto AH essendo bisettrice, divide l'angolo in parti uguali per definizione. AH è congruente ad AH per il principio di identità. AB è congruente ad AC per ipotesi.

Possiamo quindi ora affermare che i triangoli ABH e CHA sono congruenti per il teorema secondo cui, due triangoli, sono congruenti quando presentano due lati e l'angolo tra essi compreso congruente. In base al teorema secondo il quale triangoli uguali presentano gli stessi angoli (LAL, cioè Lato-Angolo-Lato), possiamo quindi affermare che gli angoli ABH e ACH sono congruenti. In questo modo, abbiamo dimostrato che un triangolo è isoscele quando presenta gli angoli alla base congruenti.

• Si consiglia lo stuio approfondito sui triangoli in generale, in modo da capire meglio.

• Triangolo isoscele: i teoremi
• Dimostrazione di un triangolo isoscele

• Le principali figure geometriche
• Come costruire un triangolo conoscendo la misura dei lati