Come dimostrare che un punto appartiene ad un piano

Tramite: O2O 10/12/2019
Difficoltà: difficile
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Introduzione

La geometria è un ramo della matematica, dove con teoremi e postulati si cerca di dimostrare o risolvere figure di diversa tipologia e complessità. Molto spesso per molti studenti la geometria rappresenta un notevole ostacolo da superare, soprattutto poi, quando si va a trattare argomenti che interessano la geometria piano con dimostrazioni Euleriane. La novità della geometria analitica è che consente di rappresentare figure geometriche mediante formule di tipo f (x, y) = 0 , dove f rappresenta una funzione o un altro tipo di espressione matematica.L'idea che ha portato alla geometria analitica è stata: ogni punto su un piano corrisponde a una coppia ordinata di numeri e ogni coppia ordinata di numeri corrisponde a un punto su un piano.Fu inventato da René Descartes e Pierre Fermat , all'inizio del 17 ° secolo, e come abbiamo visto, collega la matematica e l'algebra con la geometria attraverso le precedenti corrispondenze.Inoltre, Cartesio e Fermat hanno osservato, e questo è cruciale, che le equazioni algebriche corrispondono a figure geometriche. Ciò significa che le linee e alcune figure geometriche possono essere espresse come equazioni e, a loro volta, le equazioni possono essere tracciate come linee o figure geometriche. In quest?articolo parleremo di vari postulati e teorie per come dimostrare che un punto appartiene ad un piano.

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Occorrente

  • Libro di geometria
  • Computer
  • Connessione Internet
  • Matita
  • Righello
  • Squadrette
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Semplificare le operazioni

Prima di ogni cosa, bisogna fare delle doverose osservazioni e introdurre dei concetti come ad esempio luoghi geometrici. I luoghi geometrici sono un insieme di punti con coordinate definite su un piano cartesiano, soggette ad una equazione nota. I luoghi geometrici, rappresenta tutte le figure piane o solide della geometria. Tra queste sicuramente le più comuni e semplici sono le rette e il punto. Il piano invece, è una semplificazione dello spazio, dove si sviluppano le figure semplici o complesse. Per semplificare le operazioni che si sviluppano sul piano, e soprattutto avere un riferimento, utilizziamo il piano cartesiano, esplicitando le tre dimensioni per ogni punto che si trova sul piano stesso, dando ad ognuno di esse delle lettere (es. X, y, z nel caso di piano tridimensionale).

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Dimostrare l'appartenenza

Date alcune definizioni geometriche, ora non resta che andare a definire più nel dettaglio il discorso legato al piano è al punto, e soprattutto cercare di capire come poter dimostrare l?appartenenza di un determinato punto, al piano stesso. Come già detto in precedenza il piano è quel sottoinsieme proprio dello spazio. Tale definizione quindi ci permette di dire che ad un spazio contiene infiniti punti, infiniti rette e infiniti piani. Con tale definizione è scontato che il punto appartiene allo spazio.

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Posizionare il vettore

In questo argomento considereremo i vettori nello spazio. Un vettore unisce due punti dello spazio. Ad esempio, se si uniscono i due punti A e B, allora ha il suo termine in A (1,1,1) e la sua freccia in B (2,4,6). In questo caso le coordinate o i componenti di sono (1,3,5) - le coordinate di B meno quelle di A- sono state sottratte. Il problema è che un vettore ha una certa direzione, direzione e modulo, ma due vettori con la stessa direzione, significato e modulo sono considerati uguali. Pertanto, un vettore può essere posizionato ovunque nella sua linea di applicazione, oppure può persino spostarsi parallelamente al suo asse senza che il vettore cambi. In ogni caso, se rappresentiamo un vettore in un sistema di assi cartesiani OXYZ, proveremo sempre a disegnarlo con la sua terminazione nell'origine delle coordinate O (0,0,0). Ora per capire se un punto appartiene anche ad un piano, dobbiamo vedere se il punto che noi andiamo a considerare prima di ogni cosa appartenga a una retta in quanto per la geometria euclidea, un punto appartiene ad un piano, se a sua volta appartiene ad una retta appartenente al pino stesso. Per capire tale concetto basta procedere nel medesimo modo. Date due tracce del piano P, e date le due proiezioni del punto A, si faccia, passare per A una qualsiasi retta R del piano. Se le proiezioni del punto stanno sulle stesse proiezioni della retta, il punto appartiene alla retta e di conseguenza anche al piano. Quindi un punto appartiene ad un piano, se e solo se, le sue proiezioni appartengono alle proiezione della retta passante per il piano stesso.

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