Come dimostrare che la radice di 3 è irrazionale

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Chiunque sia passato in particolare da un liceo scientifico o da un istituto tecnico commerciale, in linea di massima saprà che la radice di 3 è un numero irrazionale. Si sa, le dimostrazioni matematiche sono sempre state noiose ai più, difficili da ricordare e ancora più complicate da spiegare ai professori durante le interrogazioni alla lavagna, o peggio, agli esami di maturità. In questo caso si tratta di una dimostrazione abbastanza semplice che non ci richiederà moltissimo tempo; esistono infatti dimostrazioni molto più complicate, specialmente nell'ambito della statistica o dell'algebra e geometria lineare e così via. Dimostrare che la radice di 3 è irrazionale sarà un gioco da ragazzi per chiunque abbia un minimo di conoscenze matematiche.
Noi presupponiamo comunque che un ipotetico lettore sia totalmente bianco in questi particolari argomenti, per cui cercheremo di essere più esaustivi e completi all'interno della spiegazione, facendovi capire il perché di ogni passaggio, senza saltarne nessuno: il contrario potrebbe creare diversi problemi a chi non ha idea di come gestire le formule matematiche e sa poco sulle proprietà ad esempio delle radici, delle potenze e così via.
Vediamo insieme come dimostrare che la radice di 3 è irrazionale.

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Occorrente

  • Conoscenze matematiche
  • Foglio su cui scrivere
  • Penna
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La prima cosa da fare per dimostrare che la radice di 3 è un numero irrazionale è impratichirsi un po' con la realtà delle radici. Bisogna sapere già da ora che una radice, elevata al quadrato, scompare: questo ci servirà più avanti.
Il primo passaggio per questa dimostrazione, presuppone un'ipotesi di fondo, cioè si ipotizza che esistano due numeri, a e b, il cui rapporto è uguale proprio alla radice di 3.

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Avendo ipotizzato che il rapporto di a e b sia uguale alla radice di 3, portiamo tutto al quadrato. A questo punto noteremo che la radice di 3 sarà sparita e che al secondo membro avremo soltanto 3, mentre a e b saranno sempre un rapporto, ma elevato al quadrato.
Adesso occorrerà capire come mai la radice di 3 è un numero irrazionale, qualcosa che porti ad affermare che l'intera uguaglianza sia assurda.

Continua la lettura
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Il ragionamento da fare arrivati qui è che a² deve essere almeno un multiplo di 3 affinché l'uguaglianza sia soddisfatta. Però sappiamo che a è al quadrato, quindi il numero 3 compare più di una volta: questo significa che b² è necessariamente un numero che contiene il 3 in modo dispari, non soddisfacendo l'uguaglianza. Per essere più chiari, ipotizzando che a sia uguale a 6=3x2, allora a² è uguale a 36=3²x2², e il numero 3 compare, come dicevamo, due volte. Di fatto, seguendo questo ragionamento, b² sarebbe uguale a 12, ma 12=3x2² e il numero 3 compare in modo dispari, il che rende assurda l'uguaglianza e irrazionale la radice di 3.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Esercitatevi anche con la stessa dimostrazione ma con la radice di 2.

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