Come dimostrare che la radice di 3 è irrazionale

Tramite: O2O 05/05/2018
Difficoltà: media
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Introduzione

La parte più noiosa e complicata del mondo matematico è sicuramente quella delle dimostrazioni. Molte di queste sono assai complesse e poco chiare, in certi casi, anche per i professori. Le dimostrazioni sono l'incubo degli studenti del liceo scientifico o dell'istituto tecnico commerciale, poiché possono creare molti problemi nelle interrogazioni. Se da un lato le dimostrazioni matematiche si possono ritenere complicate, dall'altro sono necessarie anche per confermare i calcoli più banali. In questa piccola guida ci occuperemo di come dimostrare che la radice di 3 è un numero irrazionale. In questo caso si tratta di una dimostrazione abbastanza semplice che non ci richiederà moltissimo tempo. Dimostrare che la radice di 3 è irrazionale sarà un gioco da ragazzi per chiunque abbia un minimo di conoscenze matematiche. Per chi, invece, è digiuno della materia, consigliamo la lettura di questa veloce spiegazione. Vediamo allora insieme come dimostrare che la radice di 3 è irrazionale.

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Occorrente

  • Conoscenze matematiche
  • Foglio su cui scrivere
  • Penna
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I numeri irrazionali

In questa spiegazione su come dimostrare che la radice di 3 è un numero irrazionale partiremo dal presupposto che chi legge non conosca nulla di matematica. Anche per questo cercheremo di spiegare il perché di ogni passaggio, senza saltarne nessuno. Iniziamo quindi dicendo che cos'è un numero irrazionale. Nell'insieme di questi troviamo quei numeri decimali illimitati non periodici, che non è possibile esprimere sotto forma di frazione. La radice di 3 rientra in questo gruppo. Procediamo ora con la prima regola matematica da conoscere per la dimostrazione. Se eleviamo una radice al quadrato, la radice scompare e ci rimane il numero che era sotto radice. Ad esempio, elevando la radice di 3 al quadrato si ottiene 3.

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Le dimostrazioni per assurdo

Per dimostrare che la radice di 3 è un numero irrazionale ci serviremo di un procedimento "per assurdo". Le dimostrazioni per assurdo sono le più applicate in matematica. Questo metodo però non limita il suo impiego ai soli numeri, ma lo si può trovare anche in altri ambiti, come la filosofia. Il procedimento in questione ha come obiettivo quello di dimostrare che, assumendo come vera una data ipotesi, si va incontro ad una una contraddizione logica. Di conseguenza, la proposizione presa in analisi è falsa. In questo caso, quindi, noi cercheremo di dimostrare che la radice di 3 è razionale. Andando avanti con il procedimento, però, ci accorgeremo che ciò è falso. Per questo arriveremo a dire che, quindi, essa è un numero irrazionale, secondo la legge del terzo escluso.

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Impostazione della dimostrazione

Per dimostrare che la radice di 3 è un numero irrazionale partiamo quindi da un'ipotesi di fondo. Si immagina che esistano due numeri, che noi chiameremo a e b, il cui rapporto è uguale proprio alla radice di 3. Abbiamo visto infatti che un numero irrazionale non si può rappresentare sotto forma di frazione. Per questo si parte dall'ipotesi che la radice di tre non lo sia e si uguaglia ad una frazione. Adesso eleviamo tutto al quadrato. A questo punto, grazie alla regola spiegata nel passo precedente, noteremo che la radice di 3 è sparita e che al secondo membro dell'uguaglianza abbiamo soltanto 3. Dall'altra parte dell'uguale, a e b, invece, saranno sempre un rapporto, ma entrambi elevati al quadrato. Per capire come dimostrare che la radice di 3 è un numero irrazionale dobbiamo fare un ultimo passaggio. Bisogna capire se la nostra affermazione iniziale sia veramente assurda.

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Assurdità della dimostrazione

Eccoci all'ultimo passaggio per dimostrare che la radice di 3 è un numero irrazionale. Come spiegavamo nel passo precedente, ora dobbiamo dimostrare che l'uguaglianza ottenuta è assurda. Questo non avverrebbe solo se a² fosse un multiplo di 3. Per confermare l'uguaglianza, quindi, i due numeri, a e b, scomposti dovrebbero contenere il 3 o un numero di volte dispari o pari entrambi. Ciò però è impossibile. Prendiamo il nostro rapporto con a²/b²=3. Svolgendolo possiamo arrivare a dire che a²=3*b². In questo caso, a e b, presi a caso tra i numeri, non avranno in alcun caso il tre come divisore o entrambi un numero pari volte o entrambi un numero dispari di volte. Questo succede perché b² si moltiplica per 3 una volta in più dell'altro, come dimostra l'uguaglianza. Tutto questo illustra che tale uguaglianza è assurda. Di conseguenza, possiamo dedurre che la radice di 3 è un numero irrazionale.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ripassate le proprietà delle radici e delle potenze
  • Esercitatevi anche con la stessa dimostrazione anche su altri numeri irrazionali
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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