Come dimostrare che due rette sono perpendicolari

Tramite: O2O 13/06/2016
Difficoltà: media
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Introduzione

In geometria analitica, una delle prime curve che viene trattata appena si inizia a lavorare con i piani cartesiani è la retta. La retta, ente geometrico fondamentale, è la base sia della geometria piana che dell'analisi matematica. Per affrontare, successivamente quello che sarà lo studio di funzione, è importante imparare a distinguere i tipi di retta che è possibile disegnare nel piano cartesiano e le relazioni che è possibile stabilire tra più rette. In questa guida vedremo come dimostrare che due rette sono tra loro perpendicolari, in pochi passi.

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Occorrente

  • Carta e penna
  • Calcolatrice
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Per prima cosa bisogna tener conto che in base alla forma della retta che abbiamo, ci saranno due formule diverse per il confronto delle rette. Se le rette sono scritte in forma esplicita, avranno la forma del tipo: y=mx+q. Se le rette sono scritte in forma parametrica, la loro forma sarà del tipo ax+by+c=0. Ora non resta che capire come confrontare le rette in modo da capire se tra loro sono perpendicolari. Geometricamente, due rette per essere tra loro parallele, devono giacere sullo stesso piano. Inoltre devono essere tra loro incidenti e l'angolo che si forma tra loro deve avere ampiezza pari a 90°.

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Poiché, dimostrare che tra le rette ci sia un angolo di 90° è un procedimento che richiederebbe l'utilizzo degli angoli che si formano con l'intersezione del piano cartesiano e le rette stesse, utilizzeremo per velocità e praticità il concetto di coefficiente angolare. Il coefficiente angolare di una retta indica la pendenza che la retta ha sul piano inclinato. Se noi confrontiamo la pendenza di una prima retta con quella di una seconda, possiamo vedere come sono posizionate tra loro. In particolare, se le rette sono tra loro perpendicolari, i loro coefficienti angolari saranno uno l'antireciproco dell'altro.

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Nel caso in cui abbiamo due rette r1: y=mx+q ed r2: y'=m'x'+q' espresse in forma esplicita, basterà applicare il confronto sopra spiegato tramite la formula: m=-1/m'. Se in questo caso, inserendo al posto di m ed m' i coefficienti angolari di r1 ed r2, otterremo che uno è l'antireciproco dell'altro come ad esempio m=3 ed m'=-1/3 allora le rette saranno perpendicolari. Similmente, date le rette r1: ax+by+c=0 ed r2: ax'+by'+c'=0 espresse in forma parametrica dovremo confrontare allo stesso modo i due coefficienti angolari. Questa volta, però, dovremo ricordare che m=-a/b quindi il confronto avverrà tramite la formula: -a/b= b'/a'. Se attraverso la formula non otterremo l'antireciproco significa che le rette non sono perpendicolari tra loro.

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