Come dimostrare che due rette sono perpendicolari

In geometria analitica, uno dei primi argomenti che viene trattato, appena si inizia a lavorare con i piani cartesiani, è rappresentato dal concetto di retta. Questa, ente geometrico fondamentale, è la base sia della geometria piana che dell'analisi matematica. Per affrontare invece quello che sarà lo studio di funzione, è importante imparare a distinguere i tipi di retta che è possibile disegnare nel piano cartesiano e le relazioni che è possibile stabilire tra più rette. In questa guida vogliamo dunque illustrarvi come dimostrare che due rette sono perpendicolari.

• Teorema di Euclide
• Calcolatrice

Va innanzitutto sottolineato che il coefficiente angolare ci fornisce sempre informazioni riguardo alla pendenza di una retta (in tutti quei casi in cui la retta non è parallela all?asse y, in quanto per quest?ultime, il coefficiente angolare risulta indefinibile). Dal momento che due rette parallele hanno la medesima ?pendenza?, si può affermare che due rette (non parallele all?asse y) sono parallele se e solo se hanno stesso coefficiente angolare.

Il discorso cambia qualora volessimo dimostrare che due rette sono perpendicolari fra loro. In questo caso si potrà invece dimostrare, con l?utilizzo del secondo teorema di Euclide, che due rette (non parallele agli assi) sono perpendicolari se (e solamente) i loro coefficienti angolari sono uno il reciproco dell?opposto dell?altro. Stabilita questa opportuna distinzione preliminare, vediamo ora come procedere per dimostrare che due rette sono perpendicolari.

Per prima cosa bisogna tener conto che in base alla forma della retta che abbiamo, ci saranno due formule diverse per il confronto delle rette. Se le rette sono scritte in forma esplicita, avranno la forma del tipo: y=mx+q. Se le rette sono scritte in forma parametrica, la loro forma sarà del tipo ax+by+c=0. Ora non resta che capire come confrontare le rette in modo da comprendere se, tra loro, sono perpendicolari. Geometricamente, due rette per essere tra loro parallele, devono giacere sullo stesso piano. Inoltre devono essere tra loro incidenti e l'angolo che si forma tra loro deve avere ampiezza pari a 90°.

Poiché dimostrare che tra le rette ci sia un angolo di 90° è un procedimento che richiederebbe l'utilizzo degli angoli che si formano con l'intersezione del piano cartesiano e le rette stesse, utilizzeremo per velocità e praticità il concetto di coefficiente angolare. Il coefficiente angolare di una retta indica la pendenza che la retta ha sul piano inclinato. Se noi confrontiamo la pendenza di una prima retta con quella di una seconda, possiamo vedere come sono posizionate tra loro. In particolare, se le rette sono tra loro perpendicolari, i loro coefficienti angolari saranno uno l'antireciproco dell'altro.

Nel caso in cui abbiamo due rette r1: y=mx+q ed r2: y'=m'x'+q' espresse in forma esplicita, basterà applicare il confronto sopra spiegato tramite la formula: m=-1/m'. Se in questo caso, inserendo al posto di m ed m' i coefficienti angolari di r1 ed r2, otterremo che uno è l'antireciproco dell'altro come ad esempio m=3 ed m'=-1/3 allora le rette saranno perpendicolari. Similmente, date le rette r1: ax+by+c=0 ed r2: ax'+by'+c'=0 espresse in forma parametrica dovremo confrontare allo stesso modo i due coefficienti angolari. Questa volta, però, dovremo ricordare che m=-a/b quindi il confronto avverrà tramite la formula: -a/b= b'/a'. Se attraverso la formula non otterremo l'antireciproco, significa che le rette non sono perpendicolari tra loro.

• Usando la formula inversa, è anche possibile calcolare il coefficiente angolare come m*m'=-1

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