Come diagonalizzare una matrice

Tramite: O2O 21/02/2017
Difficoltà:media
16

Introduzione

A chiunque di noi abbia compiuto degli studi superiori o universitari nel campo della matematica o delle scienze applicate alla matematica (ad esempio studi ingegneristici o relativi all'architettura) sarà senz'altro capitato di imbattersi nello studio delle Geometria analitica e delle matrici e sistemi di matrici. La loro soluzione prevede una serie di operazioni matematiche, tra cui la diagonalizzazione di una matrice. Diagonalizzare una matrice A comporta ottenere una matrice affine in cui gli unici elementi non nulli si trovano sulla diagonale. Ma quali e come sono questi elementi? Sono derivati dagli autovettori, ottenuti tramite gli autovalori, ossia valori per i quali: |A-kB|=0, dove k è uno scalare e B è la matrice identica.

26

Occorrente

  • Nozioni basilari sugli autovalori e gli autovettori.
  • Saper calcolare il determinante di una matrice.
  • Saper trovare una base di un sottospazio.
36

Facciamo un esempi pratico per illustrare questa procedura rosolutiva prendendo un esame un comune esercizio esemplificativo: dato il seguente endomorfismo: a (x, y, z)=(-x z, -y-2z, 2x-y-z), dire se è diagonalizzabile e trovare la matrice che diagonalizza e quella diagonalizzata. La risoluzione di questo esercizio è possibile in maniera semplice e corretta seguendo la metodologia illustrata qui di seguito:. Costruiamo la matrice associata all'endomorfismo esprimendola come vettori, e in cui ogni vettore rappresenta una riga: A=[(-1,0,1); (0,-1,-2); (2,-1,-1)]. Costruiamo, ora, la matrice identica B moltiplicata allo scalare k: kB=[(k,0,0); (0, k,0); (0,0, k)]. Per diagonalizzare la matrice, deve accadere che il determinante di A-kB sia uguale a 0.

46

|A-kB|= |(-1-k,0,1); (0,-1-k,-2); (2,-1,-1-k)|=(-1-k)*(1 k^2 2k-2)-2*(-1-k). Mettendo a fattor comune, si ottiene: (-1-k)(k^2 2k-3). Da qui si ottengono tre autovalori differenti, k (1)=-1, k (2)=1 e k (3)=-3, che hanno tutti molteplicità algebrica uguale a 1. Per questo motivo, dato che vale la relazione: 1

Continua la lettura
56

La matrice che diagonalizza è formata dagli autovettori, perciò dobbiamo calcolare questi ultimi, andando a sostituire nella matrice (A-kB) ogni autovalore. Calcoliamo l'autovettore associato all'autovalore k (1)=-1. V (-1)=[(0,0,1); (0,0,-2); (2,-1,0)]. Questa matrice ha rango 2, quindi ha dimensione: dim[V (-1)]=3-2=1. Una base è, ad esempio, B[V (-1)]=[(1,2,0)]. Calcoliamo l'autovettore associato all'autovalore k (2)=1. V (1)=[(-2,0,1); (0,-2,-2); (2,-1,-2)]. Questa matrice ha dimensione 1, e una sua base è, ad esempio, B[V (1)]=[(-1,-2,2)]. Operando nello stesso modo per l'ultimo autovalore, si ottiene che: B[V (-3)]=[(-1,2,2)]. La matrice che diagonalizza, chiamata P, è data dagli autovettori (le basi calcolate) messe in colonna: P=[(1,-1,-1); (2,-2,2); (0,2,2)]. La matrice diagonalizzata, invece, per le disposizioni nella matrice che diagonalizza, è: D=[(-1,0,0); (0,1,0); (0,0,-3)]. Tramite il procedimento illustrato in precedenza potrete diagonalizare con successo una matrice ogniqualvolta ne abbiate la necessità a patto che non vengano saltati passaggi a causa di una eccessiva fretta nella risoluzione e che non vi siano errori intrinsechi nello svolgimento dell'esercizio, nel qual caso l'intero risulttao finale risulterà compromesso e conseguentemente errato.

66

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Prima di fare esercizi sulla diagonalizzazione, esercitarsi sul calcolo di dimensione e base di endomorfismi.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Naviga con la tastiera

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Come trovare gli estremi liberi in una funzione

In questa guida spiegherò come trovare gli estremi liberi, relativi o assoluti, di una funzione in due o più variabili. È' una nozione fondamentale per lo studio di alcuni esami universitari, in particolare Analisi 2. Non è un argomento estremamente complicato,...
Università e Master

Teorema di diagonalizzabilità: dimostrazione

Il teorema di diagonalizzabilità è un pilastro dell'algebra lineare che ci aiuta a dare spiegazioni di tipo pratico in altri campi dello studio moderno come la meccanica strutturale o semplicemente a chiarirci come un comportamento fisico, descritto sotto...
Università e Master

Teorema di Gauss-Markov: dimostrazione

La matematica è sempre stata la materia più complicata e quindi meno apprezzata sia dai bambini delle scuole elementari, sia dagli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti sono...
Università e Master

Come implementare la risoluzione di sistemi di equazioni in Matlab

Si inizia a sentir parlare di equazioni già a partire dalla scuola secondaria di primo grado, durante le lezioni di matematica e di sistemi. Come si può immaginare, saper risolvere un'equazione è fondamentale per risolvere sistemi. Infatti un sistema...
Università e Master

Come minimizzare un circuito con le mappe di karnaugh

Ormai siamo nell'era del digitale e molte delle moderne tecnologie sono basate su componenti che lavorano in modo digitale. Il digitale si differenzia dall'analogico perché qualsiasi grandezza può assumere solamente due valori, HIGH e LOW, 1 e 0. Ciò...
Università e Master

Come calcolare una base dell'intersezione di due sottospazi

La matematica è una delle materie più belle e complesse che esistano, impararla non è per nulla semplice e richiede molti anni di studio e pazienza per essere compresa ed assimilata, e non tutti ci riescono. È inoltre necessario avere delle buone basi...
Università e Master

Come calcolare una base per il nucleo e l'immagine di un sottospazio

Il nucleo è un'applicazione lineare che ha immagine nulla, cioè è l'insieme degli elementi che vengono mandati in zero dall'applicazione. In generale è legato al concetto di funzione iniettiva. Il nucleo è un sottoinsieme del dominio della funzione, e...
Università e Master

Come calcolare la covarianza utilizzando Excel

Excel è il software di Microsoft più utilizzato per eseguire vari tipi di calcoli in maniera automatizzata. Ma oltre alle operazioni di base (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione), Excel permette di eseguire anche quelle più complesse,...