Come diagonalizzare una matrice

A chiunque di noi abbia compiuto degli studi superiori o universitari nel campo della matematica o delle scienze applicate alla matematica (ad esempio studi ingegneristici o relativi all'architettura) sarà senz'altro capitato di imbattersi nello studio delle Geometria analitica e delle matrici e sistemi di matrici. La loro soluzione prevede una serie di operazioni matematiche, tra cui la diagonalizzazione di una matrice. Diagonalizzare una matrice A comporta ottenere una matrice affine in cui gli unici elementi non nulli si trovano sulla diagonale. Ma quali e come sono questi elementi? Sono derivati dagli autovettori, ottenuti tramite gli autovalori, ossia valori per i quali: |A-kB|=0, dove k è uno scalare e B è la matrice identica.

• Nozioni basilari sugli autovalori e gli autovettori.
• Saper calcolare il determinante di una matrice.
• Saper trovare una base di un sottospazio.

Facciamo un esempi pratico per illustrare questa procedura rosolutiva prendendo un esame un comune esercizio esemplificativo: dato il seguente endomorfismo: a (x, y, z)=(-x z, -y-2z, 2x-y-z), dire se è diagonalizzabile e trovare la matrice che diagonalizza e quella diagonalizzata. La risoluzione di questo esercizio è possibile in maniera semplice e corretta seguendo la metodologia illustrata qui di seguito:. Costruiamo la matrice associata all'endomorfismo esprimendola come vettori, e in cui ogni vettore rappresenta una riga: A=[(-1,0,1); (0,-1,-2); (2,-1,-1)]. Costruiamo, ora, la matrice identica B moltiplicata allo scalare k: kB=[(k,0,0); (0, k,0); (0,0, k)]. Per diagonalizzare la matrice, deve accadere che il determinante di A-kB sia uguale a 0.

|A-kB|= |(-1-k,0,1); (0,-1-k,-2); (2,-1,-1-k)|=(-1-k)*(1 k^2 2k-2)-2*(-1-k). Mettendo a fattor comune, si ottiene: (-1-k)(k^2 2k-3). Da qui si ottengono tre autovalori differenti, k (1)=-1, k (2)=1 e k (3)=-3, che hanno tutti molteplicità algebrica uguale a 1. Per questo motivo, dato che vale la relazione: 1<=molteplicità geometrica<=molteplicità algebrica, e visto che, per essere diagonalizzabile deve essere: molteplicità algebrica=molteplicità geometrica, risulta banalmente che, in questo caso, molteplicità algebrica=molteplicità geometrica, visto che quest'ultima risulta compresa tra 1 e 1 e perciò è uguale a 1. La matrice, quindi, risulta essere diagonalizzabile.

La matrice che diagonalizza è formata dagli autovettori, perciò dobbiamo calcolare questi ultimi, andando a sostituire nella matrice (A-kB) ogni autovalore. Calcoliamo l'autovettore associato all'autovalore k (1)=-1. V (-1)=[(0,0,1); (0,0,-2); (2,-1,0)]. Questa matrice ha rango 2, quindi ha dimensione: dim[V (-1)]=3-2=1. Una base è, ad esempio, B[V (-1)]=[(1,2,0)]. Calcoliamo l'autovettore associato all'autovalore k (2)=1. V (1)=[(-2,0,1); (0,-2,-2); (2,-1,-2)]. Questa matrice ha dimensione 1, e una sua base è, ad esempio, B[V (1)]=[(-1,-2,2)]. Operando nello stesso modo per l'ultimo autovalore, si ottiene che: B[V (-3)]=[(-1,2,2)]. La matrice che diagonalizza, chiamata P, è data dagli autovettori (le basi calcolate) messe in colonna: P=[(1,-1,-1); (2,-2,2); (0,2,2)]. La matrice diagonalizzata, invece, per le disposizioni nella matrice che diagonalizza, è: D=[(-1,0,0); (0,1,0); (0,0,-3)]. Tramite il procedimento illustrato in precedenza potrete diagonalizare con successo una matrice ogniqualvolta ne abbiate la necessità a patto che non vengano saltati passaggi a causa di una eccessiva fretta nella risoluzione e che non vi siano errori intrinsechi nello svolgimento dell'esercizio, nel qual caso l'intero risulttao finale risulterà compromesso e conseguentemente errato.

• Prima di fare esercizi sulla diagonalizzazione, esercitarsi sul calcolo di dimensione e base di endomorfismi.

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