Come determinare un sottospazio vettoriale

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In ambito algebrico si ha spesso a che fare con vettori, ovvero elementi matematici n-dimensionali caratterizzati da un modulo e un verso. I vettori sono, quindi, appartenenti ad una struttura detta "spazio vettoriale", la quale può essere suddivisa in sottospazi vettoriali. In questa guida vedremo cosa sono e come determinare un sottospazio vettoriale.

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Occorrente

  • Conoscenze di base di algebra
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Definizione e proprietà

Preso uno spazio vettoriale S appartenente al campo C, sia Z un sottoinsieme di S non vuoto. Z è sottospazio di S se e solo se è uno spazio vettoriale rispetto al campo C, se gli elementi di esso possono essere moltiplicati per scalare o sommati tra di loro e se è chiuso rispetto queste due operazioni elementari. Ciò vuol dire che presi due elementi vettoriali qualsiasi appartenenti a Z (per esempio, denominati "r" e "s") e due scalari qualsiasi appartenenti all'insieme dei numeri reali (detti "a" e "b"), si può dimostrare che il vettore v = a*r+b*s appartiene sempre al sottospazio S. In caso contrario S non è un sottospazio vettoriale. Da ciò si possono ricavare anche altre proprietà utili per determinare un sottospazio. L'intersezione di due sottospazi di uno stesso spazio vettoriale genera un nuovo sottospazio, il quale può anche contenere esclusivamente il vettore nullo. La somma di due sottospazi vettoriali, ovvero un insieme contenente tutti i vettori dei due di partenza e tutte le rispettive somme, è anch'esso un sottospazio vettoriale. L'unione di due sottoinsiemi, invece, generalmente non risulta in un nuovo sottoinsieme poiché, è facile dimostrare, non rispetta la regola della somma o del prodotto scalare.

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Determinazione dalle definizioni

A questo momento iniziamo ad analizzare aspetti più pratici: sarà, infatti, possibile trovarsi di fronte ad insiemi descritti per caratteristiche o per equazioni. Le prime si riferiscono a definizioni che andranno analizzate esclusivamente attraverso la definizione principale di sottoinsieme, le quali potrebbero essere descritte attraverso la geometria spaziale, disequazioni o altre parafrasi. Il secondo, invece, si basa su un metodo molto più algebrico e, per questo, è facile determinare una regola generale per distinguere immediatamente un sottospazio da un insieme qualunque. Infatti, seguendo la richiesta di validità di somma e moltiplicazione, si può restringere ai soli insiemi definiti da un'equazione lineare (ovvero data dalla somma di tutte le n componenti del vettore, rigorosamente ad esponente unitario, moltiplicate per un numero scalare) ed omogenea (ovvero con il termine noto nullo).

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Esempi

SOTTOSPAZIO DEFINITO DA EQUAZIONIZ := [(x, y, z) appartengono a R3 t. C. 7x+6y-z=0]Z' := [(x, y, z) appartengono a R3 t. C. 12x+y+5z=0; x-y-z=0]INSIEME DEFINITO DA EQUAZIONI - NON SOTTOSPAZIOZ := [(x, y, z) appartengono a R3 t. C. Xyz=0]Z := [(x, y, z) appartengono a R3 t. C. X+y+z^2=0]Z := [(x, y, z) appartengono a R3 t. C. 2x+y+3z=1]
SOTTOSPAZIO DEFINITO DA CARATTERISTICHE
Z := [(x, y, z) appartengono a R3 t. C. Siano perpendicolari al vettore (7;1;2)]
INSIEME DEFINITO DA CARATTERISTICHE - NON SOTTOSPAZIO
Z := [(x, y, z) appartengono a R3 t. C. Appartengano ad una sfera di raggio 2 con origine in (2;2;-1)]Z := [(x, y, z) appartengono a R3 t. C. X>0]
.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Armarsi di pazienza e di un foglio di carta, svolgere molte applicazioni sarà molto utile ed efficacie

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