Come determinare se una funzione è lineare

Le funzioni lineari sono molto diffuse ed importanti nell'ambito matematico, ingegneristico, meccanico ed anche in molti altri. Esse presentano delle particolarità interessanti che tornano utili nella risoluzione di problemi complessi, per cui è meglio cercare di apprenderle al meglio in quanto possono essere utilizzate in futuro. C'è da dire che le funzioni in generale costituiscono uno degli argomenti sicuramente più ostici per gli studenti, ed anche le funzioni lineari a primo impatto potrebbero non sembrare semplici, ma seguendo questa semplice guida sarà facile capire come determinare se una funzione è lineare oppure no, il che potrà essere d'aiuto in vari casi od esercizi.

• Libro di matematica o di algebra lineare
• Pc
• Carta e penna

Si parte quindi dalla definizione di funzione lineare: una funzione F è lineare se F (aX+bY) = a * F (X) + b * F (Y) per ogni a, b e per ogni X,Y. Dopo aver fornito la definizione in linguaggio matematico è bene spiegare come appare graficamente questo tipo di funzione: una funzione lineare sarà sempre rappresentata su un pian cartesiano attraverso una retta, per cui le X e le Y della funzione lineare devono essere necessariamente di primo grado, altrimenti si sta parlando di un diverso tipo di funzione. Se per esempio la X o la Y fossero elevate alla seconda si avrebbe comunque una funzione, ma non lineare.

Le proprietà fondamentali che possiede una funzione lineare sono due. La prima è che essa conserva la somma, ciò in linguaggio matematico significa affermare che F (x+y) = F (x) +F (y), la seconda afferma che, dato un qualsiasi numero reale denominato "a", vale F (ax) = a*F (x) ovvero l'immagine di a moltiplicato x è uguale ad a per l'immagine di x. Si può tranquillamente affermare con certezza che una retta è una funzione lineare, poiché rispetta le proprietà viste. L'equazione di una retta passante per l'origine (quindi una funzione lineare) è Y=mx mentre una generica retta non passante per l'origine è Y= mx + q.
Le funzioni lineari hanno anche diverse proprietà che saranno elencate in un link alla fine di questa guida, ma le più importanti sono esattamente quelle descritte precedentemente.

In base a quanto già detto, per capire meglio il concetto è comodo fare degli esempi pratici, partendo da alcuni esempi di funzioni lineari:
F (x)= 3x-4, F (x)=18x, in più dimensioni F (x, y) = 8x+10y, F (x, y, z)= 31x+4y+25z-5
esempi di funzioni non lineari:
F (x) = sin x, F (x)= 8x^2, in più dimensioni F (x, y) = 5x+76xy
Per riassumere brevemente il concetto NON sono funzioni lineari tutte quelle che presentano termini di grado maggiore al primo, quindi tutte le equazioni esponenziali. Anche quelle logaritmiche e quelle trigonometriche risultano non lineari. Sono invece funzioni lineari tutte le equazioni di una retta, quindi sia quelle passanti per l'origine sia quelle che non lo fanno.

Naturalmente affinché l'argomento risulti più chiaro possibile l'unica alternativa è quella di studiare su appositi libri e fare molti esercizi, che al giorno d'oggi sono reperibili anche su internet. Le funzioni lineari non sono un argomento molto complesso, ma è bene saperlo padroneggiare in modo tale da trovarsi avvantaggiati per studi futuri. Qualora si volesse proseguire con l'università infatti le funzioni lineari saranno sicuramente trattate, perciò meglio averle studiate bene precedentemente. Avendo capito chiaramente le funzioni lineari sarà più facile apprendere anche altri tipi di funzioni trattate in matematica ed algebra, che possono risultare comunemente utilizzate in studi fisici ed ingegneristici. Qualora l'argomento non fosse chiaro si può sempre discuterne con il proprio professore o vedere se è il caso di prendere delle ripetizioni. La matematica può sembrare una montagna insormontabile, ma se trattata nei giusti modi sicuramente sarà apprezzata più di quanto non lo sia in classe.

• Studiare l'argomento su appositi libri di testo
• Fare molti esercizi

• Riconoscere una funzione di promo grado
• Esempi di esercizi svolti
• Altre proprietà delle funzioni lineari