Come Determinare L'Ellisse E Il Nocciolo Centrale Di Inerzia

Tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Iniziamo con una definizione di nocciolo ed ellisse: esse sono delle proprietà inerziali che dipendono dalla geometria di una sezione. L'ellisse centrale di inerzia è quell'ellisse che si forma nel baricentro della sezione, ma la sua funzione principale è quella di permettere di determinare il nocciolo centrale di inerzia. Tale calcolo è molto usato nella teoria della scienza delle costruzioni e viene eseguito nello studio delle proprietà di resistenza e delle caratteristiche meccaniche di un corpo. Mediante la sua conoscenza si possono effettuare con maggior facilità calcoli come la pressoflessione o la flessione deviata. Il nocciolo centrale, a prescindere dalla forma di una figura, risulterà sempre convesso per definizione. Il raggio di inerzia di una sezione piana permette di valutare l'inerzia, ossia la resistenza, della sezione medesima. Intuitivamente, infatti, una sezione rettangolare stretta e lunga ha una resistenza maggiore in una direzione rispetto all'altra. Nel caso invece di sezione circolare, l'inerzia è la stessa in ogni punto della sezione, in quanto l'ellisse di inerzia non è altro che una circonferenza. In questa guida cercheremo di comprendere come determinare l'ellisse e il nocciolo centrale di inerzia in una sezione rettangolare e in una sezione a T.

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Occorrente

  • Foglio
  • Matita
  • Penna
  • Righello e/o squadrette
  • Conoscenze di base di fisica
  • Conoscenze di base di geometria
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Spiegazione preliminare del concetto

Consideriamo di avere una fondazione di calcestruzzo o una trave o, ancora, una colonna, e di voler sapere se sotto il carico di esercizio essa collassa o resiste: come fare? È necessario definire il nocciolo centrale di inerzia, ossia la zona in cui il carico deve cadere affinché abbia sollecitazioni omogenee. Quindi, una volta determinata la risultante di tutte le forze agenti sulla fondazione e una volta determinato il nocciolo, dobbiamo controllare se essa ricade o meno all'interno del nocciolo medesimo.
Nel caso in cui la risultante cadesse all'esterno del nocciolo, infatti, una fondazione lavorerebbe a trazione e questo sarebbe molto pericoloso, in quanto genererebbe uno dei seguenti effetti: il collasso della fondazione o, addirittura, il distacco della fondazione dal terreno. Nel caso invece in cui la risultante cadesse all'interno del nocciolo, tutto l'elemento lavorerebbe a compressione e non si verificherebbe alcun problema di resistenza.

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Costruzione di una sezione rettangolare

Analizziamo ora quanto esposto dal punto di vista pratico, ipotizzando di dover lavorare su una sezione rettangolare. Disegniamo dunque un rettangolo e denominiamo la base con la lettera B e l'altezza con la lettera H. Dividiamo poi il rettangolo in quattro parti. Per fare ciò, basta semplicemente tracciare due rette: una che passi dal punto medio (punto che divide esattamente a metà il lato) del lato inferiore al punto medio del lato superiore, e l'altra che vada dal punto medio del lato sinistro a quello del lato destro (o viceversa). Chiameremo l'asse verticale y, mentre l'asse orizzontale x. Noteremo che queste rette si incrociano in un punto. Questo è il baricentro, che chiameremo G. Nel caso del rettangolo, questo punto corrisponde all'asse di simmetria.

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Costruzione di un'ellisse centrale in una sezione rettangolare

Occorre ora determinare gli assi coniugati principali della sezione, ricordando che tali assi sono caratterizzati dal fatto di essere sempre ortogonali tra loro e che, nel caso in cui la sezione abbia degli assi di simmetria, questi coinciderebbero con gli assi principali d'inerzia. Dobbiamo ora calcolare tali assi d'inerzia. Innanzitutto, determiniamo l'area del rettangolo, cioè base per altezza. Quindi: A= B x H.
Dopodiché, dobbiamo calcolare i momenti di inerzia rispetto all'asse x e rispetto all'asse y.
Per la x, usiamo questa formula: ix = B x H^3/12
Per la y, usiamo invece questa formula: iy = H x B^3/12
Possiamo ora determinare gli assi centrali di inerzia dell'asse x e dell'asse y.
Per quanto riguarda l'asse x, la formula è: √(ix/A)
Per l'asse y, la formula è: √(iy/A)
I risultati appena ottenuti devono ora essere riportati sull'asse x e sull'asse y del rettangolo, sia sulla parte superiore e inferiore che sulla parte destra e sinistra. Avremo così 4 punti, che possiamo unire disegnando una circonferenza. Abbiamo trovato l'ellissi centrale!

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Costruzione del nocciolo centrale di inerzia in una sezione rettangolare

Infine, per disegnare il nocciolo centrale d'inerzia, l'ultimo passo da compiere è trovare i suoi vertici. Per far ciò, dobbiamo avvalerci delle seguenti relazioni, dove per dx e dy si intendono le distanze dell'asse baricentrico rispetto alla base B e all'altezza H della sezione. Per cui: dx = H/2; dy = B/2. Adesso dobbiamo calcolare i punti X1, X2, Y1 e Y2 per poter trovare il nocciolo.
Per trovare X1 e X2 la formula è la seguente: ix^2/dxPer trovare Y1 e Y2, procediamo così: iy^2/dyRiportiamo ora i valori ottenuti sugli assi x e y del rettangolo. In questo modo otterremo altri 4 punti, che possiamo unire con dei segmenti. Troveremo così il nocciolo centrale di inerzia. Nel caso specifico di una sezione rettangolare, i vertici appena trovati sono disposti lungo gli assi baricentrici, che in questo caso coincidono con gli assi di simmetria.

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Costruzione dell'ellisse e del nocciolo centrale di inerzia in una sezione a T

Proviamo ora a trovare l'ellisse e il nocciolo centrale di inerzia in un altro tipo di figura, cioè in una sezione a forma di T. Disegniamo dunque una T, come se la stessimo facendo in grassetto. Dividiamola in due parti uguali, tracciando una retta che passi dal punto medio del lato inferiore (la base della T, in pratica) fino al punto medio del lato superiore e chiamiamola y. Tracciamo poi una retta orizzontale passante per il baricentro della figura e denominiamola x. Ora separiamo con una linea tratteggiata il tronco della T dalle sue braccia. In questo modo la T risulterà divisa in due rettangoli. Calcoliamo le due aree, facendo base per altezza, per ottenere A1 e A2. Sommiamo i due valori, per ottenere l'area totale. Applichiamo dunque le formule precedentemente indicate per calcolare i momenti statici di x (ix) e di y (iy). Questa volta però dovremo calcolarli per entrambi i rettangoli. Al termine delle operazioni, sommiamo i due valori xi ottenuti tra loro e facciamo lo stesso con i due yi. Dopodiché, determiniamo gli assi centrali e, successivamente, il nocciolo centrale, sempre seguendo le stesse formule usate per la sezione rettangolare. Riportiamo i valori sugli assi x e y e uniamoli, per ottenere l'ellisse centrale e il nocciolo.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Se volete usare un metodo più sbrigativo per calcolare il nocciolo centrale di inerzia di un rettangolo, basterà semplicemente dividere gli assi x e y in tre parti uguali. Emergeranno così 4 punti che potete unire, ottenendo così il nocciolo della figura!
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