Come determinare le rette tangenti a un'iperbole

Una delle operazioni più ricorrenti nella matematica delle coniche (ellisse, circonferenza, parabola e iperbole) è sicuramente determinare le rette tangenti ad esse, cioè quelle rette che intersecano la conica in un solo punto. Come è possibile farlo? Si tratta quindi di avere un'iperbole, del quale è nota la sua equazione (ma è possibile anche farne a meno, per alcuni problemi) e un punto noto. Adesso, sono possibili diversi casi: il punto appartiene alla retta tangente e si deve verificare in quale punto essa incontra l'iperbole oppure il punto è proprio quello di tangenza e devo ricavare l'equazione della retta e molto altro ancora, in base alle caratteristiche di retta e conica.

• Modeste conoscenze matematiche di base
• Calcolatrice (eventuale)
• Libro di matematica (eventuale)

Una generica iperbole ha equazione X^2/a^2 - Y^2/b^2 =1, mentre la forma esplicita di qualunque retta è descrivibile come Y= mX + q. La prima cosa che viene in mente è costruire un sistema lineare tra queste due equazioni, ricavando quindi (b^2-a^2m^2)X^2 - 2mqa^2X - a^2q^2 - a^2b^2 =0. Se la retta passa per (0;0) allora q=0. Se anche il coefficiente di X^2 =0, allora m=b/a (o -b/a): ciò significa che la soluzione è unica ed è approssimabile proprio con gli asintoti della conica (toccheranno l'iperbole in un punto a distanza infinita, secondo la definizione di asintoto).

Ho un punto noto, ad esempio P=(1;-2). Posso subito scrivere l'equazione del fascio di rette che passa per quel punto, come y+2=m(x-1). Mettendo a sistema con l'equazione dell'iperbole alla quale una sola delle rette di questo fascio è tangente, è quindi possibile ottenere il valore del coefficiente angolare m affinché la retta sia tangente (in questo caso si troverà un'equazione di secondo grado e andrà imposta la condizione di tangenza, cioè il discriminate (delta o delta/4) uguale a zero. Una possibilità ulteriore è che il punto P non sia quello da cui parte la retta, ma sia proprio quello di tangenza: la risoluzione è quindi ancora più semplice, dal momento che P appartiene alla retta ma ovviamente anche all'iperbole e si può procedere come indicato sopra.

Un ultimo caso può prevedere che sia ignota l'equazione dell'iperbole alla quale è tangente una retta che invece conosciamo. Per poter risolvere un simile problema, è necessario conoscere anche il punto di tangenza o almeno una delle due coordinate cartesiane (X o Y). In questa circostanza, si ricava subito l'altra coordinata del punto (se non si conosce) e si costruisce l'equazione generica dell'iperbole sostituendo a X^2 e Y^2 i valori del punto (dato che, come detto, il punto di tangenza appartiene alla conica). Mettendo a sistema con la retta (nota) e imponendo sempre la condizione discriminante=0, otteniamo la nostra iperbole a partire dalla sua retta tangente.

• In caso di incertezza, è sempre opportuno l'ausilio di un manuale di matematica (va bene anche quello scolastico)

• Equazioni rette tangenti all'iperbole