Come determinare le proporzioni

Tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

Imparare ad eseguire correttamente le proporzioni è importante non solo per chi vuole intraprendere un ciclo di studi economico o scientifico, ma anche per la risoluzione di problemi quotidiani. Questi semplici calcoli ricorrono frequentemente in diverse procedure matematiche. In termini semplici, le proporzioni non sono altro che delle relazioni tra quattro elementi e si utilizzano quando vogliamo scoprire il valore numerico di uno (incognita) conoscendo gli altri tre. Possiamo avere proporzioni tra numeri interi, frazionari e percentuali. Come tutte le operazioni matematiche basta ragionare per sapere sempre come procedere.
Nei passi successivi vedremo come fare per riuscire a determinare correttamente le proporzioni.

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Occorrente

  • Penna
  • Foglio di carta
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La proprietà principale

Le proporzioni possono essere l'incubo di uno studente con una capacità di memoria sviluppata, ma una attitudine logica in difetto. Pur non essendo calcoli complicati, se non si comprende il meccanismo risulta difficoltoso. Le proporzioni si scrivono nella seguente forma: a:b = c:d che si legge "a sta a b come c sta a d". Questa espressione in lettere mostra la relazione esistente tra i nostri elementi e significa che la relazione di a con b è uguale a quella tra c e d.Partendo da questo presupposto, la proprietà della proporzione vuole che il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. I dati chiamati medi sono i dati interni alle proporzioni, mentre i dati estremi sono quelli che si trovano ai lati opposti delle proporzioni. Per riprendere l'esempio riportato in precedenza a e d" sono gli estremi mentre b e c sono i medi della proporzione.

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La risoluzione dell'esercizio

Per risolvere le proporzioni dobbiamo moltiplicare i dati conosciuti che appartengano alla stessa categoria "due medi o due estremi", e dividerli per il terzo dato in nostro possesso ossia l'estremo o il medio dal lato contrapposto a quello della incognita (matematicamente la "x").
Facciamo un'ipotesi di una proporzione: 2:4=3: x per comprendere meglio il meccanismo.Dobbiamo calcolare la x, quindi scriveremo: x= 4 che moltiplica 3 (prodotto dei medi) diviso 2 (il terzo termine a noi conosciuto). X= 12:2. X=6. Abbiamo trovato la nostra incognita. Per completare l'esempio quindi sappiamo che 2:4=3:6 che si leggerà: 2 sta a 4 come 3 sta a sei. Significa che la relazione tra due e quattro è uguale a quella tra tre e sei.

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La conclusione del ragionamento

Stabilito il risultato matematico dell'esercizio, occorre sempre osservare con occhio critico il valore numerico ottenuto. Il risultato è coerente con l'altra relazione esistente? Se la risposta è negativa, va rivisto l'esercizio. La conclusione del ragionamento non può essere "sproporzionata" ai valori a noi conosciuti. Nel nostro esempio 2 e 3 sono esattamente la metà di 4 e 6, quindi la proporzione è rispettata e il risultato è corretto.Il maggiore ostacolo alla risoluzione dei problemi matematici è l'impostazione corretta della proporzione. Poi applicare la proprietà descritta sopra sarà un gioco da ragazzi. Un po' di pazienza e tanto esercizio saranno sufficienti per abituare la mente a questa impostazione.

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Le altre proprietà

Meno conosciute, ma altrettanto utili, sono le altre proprietà delle proporzioni che ci vengono in aiuto per la risoluzione dei problemi. La proprietà del permutare (scambiare) vuole che se scambiamo i medi o gli estremi in una proporzione il risultato non cambia: 2:4=3:6 è uguale a 2:3 come 4:6 (scambiando i medi). La proprietà dell'invertire ci dice che se cambia l'ordine all'interno della proporzione rispettando le posizioni dei valori il risultato sarà lo stesso: 4:2=6:3 è uguale a 2:4=3:6. Più complesse, ma altrettanto intuitive sono le proprietà del comporre (addizionare) e scomporre (sottrarre), in cui rispettivamente la somma o la sottrazione dei primi due termini sta al primo come la somma o la sottrazione degli altri due sta al terzo o quarto termine: se ho 3:6=2:4 posso scrivere (3+6):6=(2+4):4 che è uguale a (3+6):3=(2+4):2. Se sostituiamo la sottrazione all'addizione il risultato non cambierà (attenzione a inserire il numero più grande al primo termine).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Bisogna fare attenzione a individuare correttamente quali sono i medi e quali gli estremi
  • E' utile cerchiare in rosso l'incognita per non incorrere in errori di distrazione
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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