Come determinare le misure di cubi legati a sfere

tramite: O2O
Difficoltà: facile
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Introduzione

In geometria il cubo (o esaedro regolare) è un solido platonico che presenta 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli. Potrete ricordarlo facilmente dal momento che esaedro, in greco, è ogni poliedro concavo o convesso con 6 facce. In ogni vertice si incontrano tre spigoli, ortogonali due a due, e si intersecano tre facce, anche queste ortogonali due a due. Il cubo inoltre è un parallelepipedo rettangolo regolare, ed è un caso particolare di prisma quadrato e di trapezoedro. Ricordiamo che il poliedro duale del cubo è l'ottaedro, che presenta 8 facce triangolari, 6 vertici e 12 spigoli. Una regola fondamentale dice che tutti i cubi con gli spigoli della stessa lunghezza sono congruenti. Per risolvere i problemi di geometria è importante conoscerla. Ogni cubo poi è caratterizzato dalla lunghezza "a" dei suoi spigoli: se sottoposto ad una omotetia di fattore "b/a" diventa congruente con ogni cubo con gli spigoli di lunghezza "b". Altre proprietà del cubo che non elencheremo sono ottenibili facilmente mediante strumenti della geometria analitica. In questa guida scopriremo come determinare le misure di cubi legati a sfere.

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Facciamo un esempio: abbiamo una sfera con raggio di 5 cm. Il cubo inscritto può essere inserito esattamente in questa sfera, in modo tale che la distanza tra due vertici opposti del cubo misuri in lunghezza 10 cm (che è il diametro della sfera di partenza). Per calcolare con precisione la lunghezza dello spigolo del cubo inscritto occorre dividere il diametro della sfera per la radice quadrata di 3 (1,732 circa).

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Nel caso preso in esame si dovrà dividere 10 per 1,732. Il risultato è circa 5,77 cm, ovvero la misura dello spigolo del cubo inscritto. Dunque la superficie di una delle sei facce è uguale al quadrato dello spigolo, cioè nel nostro esempio 5,77 al quadrato, quindi 33,3 cm quadrati. La superficie totale del cubo inscritto la si calcola semplicemente moltiplicando per sei quella di una singola faccia. Il risultato a questo punto è pari a 200 cm quadrati circa.

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Prendiamo ancora in esame la stessa sfera di raggio 5 cm e analizziamo il cubo circoscritto (cioè quello al cui interno si può inserire perfettamente tale sfera). Le misurazioni in questo caso saranno più semplici, dato che lo spigolo del cubo circoscritto è lungo esattamente come il diametro della sfera, quindi 10 cm. Di conseguenza l'area di una qualsiasi delle sue facce è di 100 cm quadrati, mentre la superficie totale di questo tipo di cubo è uguale a 100 per sei, cioè 600 cm quadrati.

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