Come determinare le formule di prostaferesi

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In trigonometria, si definiscono le quattro formule di prostaferesi (dal greco prosthesis e afàiresis, ovvero somma e differenza) come quelle formule che ci consentono di trasformare la somma e la differenza di due coseni o di due seni, in un prodotto tra seno e cose. Storicamente essenziali per la semplificazione dei calcoli, in quanto permettono di trasformare prodotti in somme e viceversa. Questa guida vi mostrerà come determinare le quattro formule di prostaferesi.

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La prima formula

Per determinare la prima formula di prostaferesi, che riguarda la somma di due seni procedete in questo modo. Sapete che avete i due angoli p e q. Inoltre, sapete anche che: sen (p + q) = sen p cos q+ cos p sen qsen (p - q) = sen p cos q - cos p sen qSe sommate verticalmente le due espressioni, cos p sen q si annullano ed otterrete: sen (p + q) + sen (p - q) = 2 sen p cos q. Passiamo all'applicazione di questa prima formula. Immaginate la situazione in cui: p + q = sp - q = t. Dovrete prima di tutto sommare e poi sottrarre sempre verticalmente i termini. P = s + t / 2q = s – t / 2Così facendo, avrete ottenuto la prima formula: sen s + sen t = 2sen (s + t /2) cos (s - t /2)
.

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La seconda formula

Per ottenere la seconda formula, contrariamente alla prima, dovrete sottrarre i seni verticalmente e non addizionare. Tenete sempre a mente gli angoli p e q. Sen (p + q) = sen p cos q + cos p sen qsen (p - q) = sen p cos q - cos p sen q.A questo punto procedete con la sottrazione e avrete: sen (p + q) - sen (p - q) = 2 cos p sen q. Supponete sempre che: p + q = sp - q = tOtterrete il seguente risultatop = s + t / 2q = s – t / 2. A questo punto potrete ricavare la vostra seconda formula: sen s - sen t = 2cos (s + t /2) sen (s - t /2).

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la terza formula

Come abbiamo visto, le prime due formule riguardano somma e sottrazione del seno, le ultime due invece interessano somma e differenza del coseno. Utilizzate lo stesso procedimento dei primi due casi, sommando in verticale. Cos (p + q) = cos p cos q - sen p sen qcos (p - q) = cos p cos q + sen p sen q. Come potete vedere, ricaverete: cos (p + q) + cos (p - q) = 2 cos p cos q. Ponete sempre che: p + q = sp - q = tAllora: p = s + t / 2q = s – t / 2. Otterrete la terza formula: cos s + cos t = 2cos (s + t /2) cos (s - t /2).

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la quarta formula

Per ottenere la quarta ed ultima formula, dovrete sottrarre i valori: cos (p + q) = cos p cos q - sen p sen qcos (p - q) = cos p cos q + sen p sen q = cos (p + q) - cos (p - q) = - 2 sen p sen q. Procedete sempre allo stesso modo: p = s + t / 2q = s – t / 2. Ed ecco a voi, l'ultima delle quattro formule di prostafaresi: cos s - cos t = - 2sen (s + t /2) sen (s - t /2)
Per una migliore memorizzazione del procedimento, consigliamo un esercizio continuo e costante dei procedimenti, in maniera tale che diventino automatici.

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