Come determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti

Grazie al contenuto di questa guida, impareremo come determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti in comune tra loro. In questo caso, per determinare le equazioni, occorrerà partire dalla conoscenze base sulle circonferenze e sul piano cartesiano. Vediamo dunque come determinare tutte le circonferenze di equazioni passanti per due punti dati, partendo da un esempio specifico di esercizio che dimostri l'applicazione della regola generale sulle equazioni di circonferenza.

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Prima di calcolare le equazioni in oggetto, è assolutamente necessario conoscere quali siano le formule generali sulla circonferenza. Va quindi rammentato che questa figura geometrica è definibile come il luogo geometrico dei punti equidistanti dal centro. Ciò sta a significare che tutti i punti di tale figura geometrica hanno la caratteristica di avere la medesima distanza dal centro ( che si definisce raggio). Dunque, il centro e il raggio rappresentano i due elementi principali della circonferenza e che sono assolutamente da conoscere quando ci si approssima a calcolare le le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti.

Calcolare dunque l'equazione della circonferenza per due punti, non risulta essere un calcolo particolarmente difficile. È tuttavia indispensabile porre molta attenzione a come si svolge il sistema di equazioni a tre incognite. Tutti i calcoli andranno poi svolti con attenzione, in quanto basterà un solo segno sbagliato per condurre l'intero sistema ad ottenere soluzioni errate o addirittura impossibili. Vediamo ora come procedere. Per prima cosa è bene sapere in che modo riconoscere ogni componente di un'equazione di circonferenze nel piano cartesiano. Questi elementi, per quanto differenti potranno sembrare, potranno essere generalmente indicati con la seguente formula di equazione: x^2 + y^2 + ax + by+c=0. Andiamo quindi a sfruttare questa nozione nel passaggio successivo.

Considerando il piano cartesiano come un insieme di tutti i punti che lo compongono, aventi coordinate (x, y), dobbiamo trovare una condizione per la quale tutte le circonferenze passino per due punti di questa tipologia. I passaggi sono semplicissimi. Appuntiamoci su carta le coordinate dei due punti che chiameremo P e Q. Creiamo un sistema tra due equazioni generiche x^2 + y^2 + ax + by+c=0 uguali. Nella prima sostituiamo i valori di x e di y di P. Nella seconda sostituiamo i valori di x e y di Q. Troveremo due valori di "a" e di "b" in funzione del parametro c.
Adesso sarà davvero semplice risolvere il problema. Infatti non abbiamo fatto altro che generare un fascio di circonferenze passanti proprio per i due punti iniziali. Ora scriveremo un semplicissimo esempio con il quale capire questo tipo di esercizi. Vedrete che sarà davvero un gioco da ragazzi.

Ipotizziamo che in un esercizio vi venga chiesto di determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti. Ovviamente sarà l'esercizio a darvi le coordinate di questi due punti. Avendo i valori di x e di y di entrambi i punti, seguiamo tutti i passaggi descritti. Ecco a voi un esempio di esercizio: se abbiamo due punti: A (-3;1) e B (1;1), abbiamo rispettivamente le loro coordinate x e y. Scriviamo ora un sistema di due equazioni generiche di circonferenze e procediamo al passaggio successivo: {x^2 + y^2 + ax + by+c=0 e {x^2 + y^2 + ax + by+c=0. Avendo questo sistema, indichiamo la prima equazione con una A e la seconda con una B per non confonderci: A {x^2 + y^2 + ax + by+c=0 e B {x^2 + y^2 + ax + by+c=0. Prendiamo le coordinate x e y di A e le sostituiamo alla prima equazione, in questo modo: A {10-3a+b= -c e B {x^2 + y^2 + ax + by+c=0. Eseguiamo ora lo stesso procedimento con la seconda equazione: A {10-3a+b= -c e B{2+a-b=-c. Adesso prendiamo in evidenza i parametri "a" e "b" e risolviamo il sistema ottenendo: A {a=6 + c e B {b=2c+4. Ora creiamo una nuova equazione di circonferenza sostituendo i nuovi valori di "a" e "b" : x^2 + y^2 + x (6 + c) + y (2c + 4) +c = 0. Avremo così ottenuto le equazioni richieste. Ora che si sarà imparato il metodo generale, lo si potrà applicare a qualsiasi tipo di esercizio.

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