Come determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti

Salve! Benvenuti alla guida con la quale impareremo come determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti in comunque tra loro.  Dopo questa guida diventeremo molto veloci semplicemente partendo dalle conoscenze base sulle circonferenze e sul piano cartesiano. Iniziamo subito con la guida!

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Per prima cosa è bene sapere in che modo riconoscere ogni componente di un'equazione di circonferenze nel piano cartesiano.
Esse, per quanto differenti potranno sembrare, le troveremo generalmente due forme:

x^2 + y^2 + ax + by+c=0

Andiamo quindi a sfruttare questa nozione nel passaggio successivo!

Considerando il piano cartesiano come un insieme di tutti i punti che lo compongono, aventi coordinate (x, y), dobbiamo trovare una condizione per la quale tutte le circonferenze passino per due punti di questa tipologia.

I passaggi sono semplicissimi.

Appuntiamoci su carta le coordinate dei due punti che chiameremo P e Q.

Creiamo un sistema tra due equazioni generiche x^2 + y^2 + ax + by+c=0 uguali.

Nella prima sostituiamo i valori di x e di y di P.

Nella seconda sostituiamo i valori di x e y di Q.

Troveremo due valori di "a" e di "b" in funzione del parametro c.

Adesso sarà davvero semplice risolvere il problema! Infatti non abbiamo fatto altro che generare un FASCIO di circonferenze passanti proprio per i due punti iniziali.

Difficile da visualizzare? Ora scriverò un semplicissimo esempio con il quale capire questo tipo di esercizi sarà davvero un gioco da ragazzi!

Ipotizziamo che nel vostro esercizio vi venga proprio chiesto di determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti. Ovviamente sarà l'esercizio a darvi le coordinate di questi due punti. Avendo i valori di x e di y di entrambi i punti seguiamo tutti i passaggi descritti!

Ecco a voi un esempio di esercizio

Se abbiamo due punti: A (-3;1) e B (1;1), abbiamo rispettivamente le loro coordinate x e y.

Scriviamo ora un sistema di due equazioni generiche di circonferenze e procediamo al passaggio successivo.

{x^2 + y^2 + ax + by+c=0
{x^2 + y^2 + ax + by+c=0

Avendo questo sistema indichiamo la prima equazione con una A e la seconda con una B per non confonderci.

A {x^2 + y^2 + ax + by+c=0
B {x^2 + y^2 + ax + by+c=0

Prendiamo le coordinate x e y di A e le sostituiamo alla prima equazione

A {10-3a+b= -c
B {x^2 + y^2 + ax + by+c=0

Eseguiamo ora lo stesso processo con la seconda equazione .

A {10-3a+b= -c
B{2+a-b=-c

Adesso prendiamo in evidenza i parametri "a" e "b" e risolviamo il sistema ottenendo.

A {a=6 + c
B {b=2c+4

Fantastico! Ora creiamo una nuova equazione di circonferenza sostituendo i nuovi valori di "a" e "b" !

x^2 + y^2 + x (6 + c) + y (2c + 4) +c = 0.

Ottimo! Adesso l'eserizio è finito ed abbiamo ottenuto una equazione di un fascio! Ora che hai imparato il metodo, corri a provarlo su un esercizio.

• Fare molti esercizi per imparare il metodo.

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