Come determinare la posizione reciproca di due rette

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Difficoltà: media
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Introduzione

La geometria è una delle materie più ostiche per gli studenti delle scuole superiori, ma anche per gli studenti universitari. Il motivo di ciò è che si tratta di una disciplina molto difficile da comprendere e in cui è facile confondersi. Tra gli esercizi che più di frequente vengono proposti nei licei scientifici, ci sono quelli relativi alle rette. Una retta è un insieme infinito di punti, segue una sola direzione e ha una sola dimensione, cioè la lunghezza. Due rette possono giacere sullo stesso piano o nello spazio tridimensionale e assumere reciproche posizioni. Vediamo allora come determinare la posizione reciproca di due rette.

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Tipi di rette nello spazio

Due rette che giacciono nello spazio tridimensionale possono essere di due tipi: sghembe o complanari. Le prime non appartengono allo stesso piano, quindi non hanno alcun punto in comune e non possono essere nemmeno parallele. Le rette complanari, invece, appartengono allo stesso piano, quindi possono essere incidenti, se hanno dei punti in comune, o parallele. Per determinare se due rette sono complanari o sghembe ci sono 3 metodi. Nel primo caso, quando le due rette sono espresse sotto forma di equazione, bisogna calcolare il determinante della matrice. Se esso è diverso da 0, allora siamo di fronte a due rette sghembe. Se è uguale a 0, le rette sono complanari. Allo stesso modo, anche nel secondo caso, quando le rette sono espresse in forma parametrica, bisogna calcolare il determinante e verificare se è uguale o diverso da zero. Nel terzo caso, quando una retta è data in forma parametrica e l'altra in forma di equazione, bisogna trasformarle entrambe nella stessa forma e poi calcolare il determinante.

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Esempio di rette nello spazio

Vediamo con un esempio pratico come fare a determinare se due rette sono sghembe o parallele. Immaginiamo di avere due rette in forma parametrica:
r = { x = 1 - t; y= - 1 + t; z = 5 - 3t
s = { x = 2 + k; y = - 3 - k; z = 2 + 2k
Per prima cosa, bisogna stabilire il vettore di direzione di entrambe le rette. Il vettore della retta r è dato dai componenti ottenuti dal coefficiente t, mentre il vettore della retta s è dato dai componenti del coefficiente k. Per cui abbiamo:
Vr (-1, 1, -3)
Vs (1, -1, 2)
Da ciò possiamo notare che le due rette non sono parallele. Ora però dobbiamo determinare se sono incidenti o meno. Quindi, scriviamo un sistema di questo tipo:
{ 1- t = 2 + K; -1 + t = -3 - k; 5 - 3t = 2 + 2k
Da ciò deriva:
{- 1- k = t; - 1 - 1- k = - 3 - k
Dato che le k si elidono, avremo: {-2 = -3
L'equazione è impossibile, questo significa che le due rette non hanno punti in comune. Dato che abbiamo stabilito che le rette non sono né parallele e né incidenti, allora possiamo dire che sono sghembe.

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Tipi di rette nel piano

Le rette che appartengono allo stesso piano, e che quindi sono complanari, possono a loro volta assumere diverse posizioni reciproche. Esse possono essere: parallele, se non hanno nessun punto in comune; incidenti, se intersecano in un unico punto; coincidenti, se intersecano tutti i punti.
Nella geometria euclidea, due rette parallele mantengono sempre la stessa distanza. Inoltre, due rette incidenti possono essere perpendicolari quando il loro punto di intersezione divide il piano in parti uguali, creando dunque quattro angoli retti. Ricordiamo che la retta è il luogo geometrico dei punti che soddisfano un'equazione di primo grado: ax + by + c = 0. Possiamo quindi affermare che l'intersezione tra due rette si ottiene risolvendo il sistema tra le due rette.
Se a/a1 ? b/b1, le rette sono incidenti.
Se a/a1 = b/b1 ? c/c1, le rette sono parallele.
Se a/a1 = b/b1 = c/c1, le rette sono coincidenti.

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Esempio di rette nel piano

Vediamo adesso con un esempio come determinare la posizione reciproca tra due rette nello stesso piano. Immaginiamo di avere tre rette:
Prima retta: y = 2x +1
Seconda retta: 4x - 2y - 1 = 0
Terza retta: y = 3x + 4
Possiamo notare che la seconda retta è scritta in maniera implicita, quindi bisogna trasformarla in forma esplicita. Per cui: 4x - 2y - 1 = 0 -> y = 2x - 1/2
Dato che la prima retta e la seconda hanno lo stesso coefficiente angolare, esse possono essere parallele o coincidenti. Dobbiamo allora osservare il coefficiente Q, cioè 1 per la prima retta e 1/2 per la seconda. Dato che sono diversi, allora le rette sono parallele.
Consideriamo adesso la prima e la terza retta. I coefficienti angolari sono diversi, quindi le rette sono incidenti. Dobbiamo allora calcolare il punto di intersezione. Mettiamo le due rette a sistema, dopodiché scriviamole così: 2x + 1 = 3x + 4
Risolviamo l'uguaglianza in questo modo: 2x - 3x = 4 - 1 -> -x = 3 -> x = - 3
Abbiamo così ottenuto il punto in ascissa, ma bisogna trovare il punto in ordinata. Per farlo, sostituiamo il risultato ottenuto in una delle due rette iniziali. Per esempio, y = 3x + 4 diventerà y = 3(-3)+ 4 -> -9 + 4 -> -5
I punti di intersezione sono quindi: P(-3;-5).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Quando riportiamo le rette sul grafico, utilizziamo colori diversi per ognuna di esse, in modo da renderle immediatamente riconoscibili visivamente
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