Come determinare la posizione reciproca di due piani

In questa guida vogliamo illustrarvi la modalità matematica attraverso la quale è possibile determinare la posizione reciproca di due piani. Per fare questo, ci avvarremo di un esempio che possa spiegare in modo corretto il procedimento da seguire. Va innanzitutto sottolineato che ciascun piano, dunque, è sempre evidenziato da una equazione che ne definisce caratteristiche e posizione. Sarà pertanto necessario confrontare le due equazioni per stabilire la loro relazione e la posizione che assumono. Vediamo dunque come procedere.

Nel nostro esempio, i due piani possono essere indicati con le equazioni 2x-5y+z=1 e 6x-15y+3z=4. Iniziamo con l'osservare che, in linea del tutto generale, due piani possono essere tra loro paralleli distinti, secanti o paralleli coincidenti. Saranno distinti se il sistema delle due equazioni non ammetterà soluzioni; saranno secanti qualora il sistema delle equazioni ammetta infinite soluzioni. Infine, i due piani saranno coincidenti se le due equazioni saranno verificate da ogni terna ordinata (x,y,z) che soddisfi la prima o la seconda equazione. Ma veniamo alla risoluzione del nostro quesito di base: come determinare, dunque, la posizione reciproca tra i due piani espressi con le equazioni sopra definite? Vediamo il modo per calcolare la posizione esatta.

Prendiamo la prima equazione 2x-5y+z=1 e moltiplichiamo per 3 ciascun membro di questa prima equazione. Questo perché ciascun primo membro delle due equazioni ha come valore 2 e 6. L'equazione risulterà così trasformata: 6x-15y+3z=3. Sottraiamo ora i membri di questa equazione ai membri della seconda equazione (quella 6x-15y+3z=4). Vediamo quale risultato si produrrà, ricordando sempre che il nostro scopo principale è quello di verificare la posizione reciproca assunta dai due piani.

Allora si avrà in questo caso 6x-6x=0; -15y+15y=0. Ed, infine, 4-3=1. L'equazione si svilupperà dunque in questo modo: 0+0+0=1. Eliminando tutti gli zeri del primo membro, si avrà 0=1. Ciò vuol dire che il sistema non ammette alcuna soluzione e che, dunque, seguendo quanto illustrato in precedenza, i due piani in questo caso si possono definire paralleli e distinti. Ecco dunque determinata con esattezza qual è la loro posizione reciproca. L'esempio sopra citato, è applicabile a qualsiasi relazione tra due differenti piani. Lo sviluppo delle equazioni che vi abbiamo proposto, dunque, è valido per qualsiasi altra relazione tra piani.

• Posizioni tra due piani