Come determinare la parabola avente fuoco e vertice

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Le materie scientifiche destano spesso le maggiori preoccupazioni negli studenti della scuole superiori. Questo è spesso dovuto al fatto che occorrano solide basi analitiche e matematiche. Tra le varie discipline scientifiche, l'algebra lineare e la geometria analitica risultano essere le più ostiche nella maggior parte dei casi, soprattutto quando occorre affrontare e risolvere i problemi di determinazione dell'equazione di una figura sul piano cartesiano, a partire da una serie di dati noti. Vediamo in questa guida come determinare la parabola avente fuoco e vertice.

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Occorrente

  • Quaderno
  • Penna
  • Calcolatrice
  • Righello
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Definizione e punti notevoli

La parabola è una figura piana. Si tratta di una delle sezioni coniche, ovvero è una figura ottenibile sezionando appositamente un cono, ed è definita in geometria come il luogo geometrico dei punti che sono equidistanti da una retta, chiamata direttrice (retta d) e da un punto fisso, chiamato fuoco (punto F), che non appartiene alla retta d. Il punto di fuoco avrà delle generiche coordinate: F (Xf, Yf). Il punto di massimo o di minimo della parabola è chiamato vertice (punto V) ed anche per tale punto vengono indicate le coordinate nel piano cartesiano: V (Xv, Yv).

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Equazione della generica parabola

L'equazione generica della parabola può essere scritta in due diversi casi: parabola ad asse verticale e parabola ad asse orizzontale. Nel caso di parabola ad asse verticale, l'equazione caratteristica sarà del tipo: y=a*x^2+b*x+c. Invece, nel caso di parabola ad asse orizzontale, l'equazione caratteristica sarà del tipo: x=a*y^2+b*y+c. Per determinare se l'asse è orizzontale o verticale, occorre valutare le coordinate del vertice e del fuoco e vedere se sono uguali le x o le y dei due punti V ed F. Nel primo caso, le coordinate dei due punti notevoli saranno: V (-b/2a; (4ac-b^2)/4a) e F (-b/2a; (1-b^2+4ac)/4a). Nel secondo caso saranno invece: V ((4ac-b^2)/4a; -b/2a) e F ((1-b^2+4ac)/4a; -b/2a).

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Calcolo dei coefficienti dell'equazione

Per calcolare i coefficienti dell'equazione sarà quindi necessario sfruttare le informazioni sulle coordinate del vertice V e del fuoco F. Assumiamo come esempio il caso di parabola ad asse verticale, per semplicità. Il caso di parabola ad asse orizzontale sarà risolvibile con procedimento analogo. Occorre impostare un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b, c. Occorre quindi imporre che: -b/2a=Xv=Xf; (4ac-b^2)/4a=Yv; (1-b^2+4ac)/4a=Yf. Abbiamo ottenuto quindi un sistema di equazioni risolvibile matematicamente, che ci permette di ottenere i coefficienti a, b, c, da inserire all'interno dell'equazione generica della parabola.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Provate a disegnare sempre la parabola nel piano cartesiano in modo da poter più facilmente individuare le coordinate dei punti notevoli
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