Come determinare la frontiera di un insieme

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Nella matematica, in particolare per quanto riguarda la branca della "topologia", è abbastanza comune imbattersi nel concetto di "insieme": in particolare, esso rappresenta uno spazio che può essere aperto (se ci si può spostare da ciascun punto dell'insieme ad altri punti, rimanendo tuttavia nell'insieme stesso) o chiuso (se il bordo dell'insieme è contenuto nell'insieme stesso). Per provare a ragionare su un esempio di insieme, basterà pensare ad un cerchio: l'interno rappresenterà naturalmente un insieme aperto, mentre i punti di collegamento tra il perimetro e l'area costituiranno un insieme chiuso. Un insieme chiuso è dunque un "sottoinsieme", dato che è contenuto in qualcosa di più grande: il bordo che lo costituisce è detto "frontiera" e nella seguente guida illustreremo come determinarlo.

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Frontiera e punti di frontiera

In topologia la frontiera di un sottoinsieme (S) di un qualsivoglia spazio topologico (X) è definita come la chiusura dell'insieme, escluso l'interno. Ciascun elemento da cui essa è costituita è chiamato "punto di frontiera" e può naturalmente appartenere all'insieme così come risultarne esterno, dunque per determinarla bisogna sempre fare molta attenzione nello specificare i precisi punti. Possiamo quindi elaborare già diversi enunciati: la frontiera di un insieme è sempre chiusa ed un insieme può essere definito chiuso soltanto se la contiene al suo interno.

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Insiemi complementari e chiuso-aperti

Quando due o più insiemi sono collegati tra loro, gli insiemi formati dalla loro intersezione vengono definiti "complementari": in questo caso la frontiera rappresenterà l'intersezione che corre tra la chiusura del sottoinsieme S e quella del suo complementare. La frontiera di un insieme e quella del suo complemento saranno dunque uguali. Uno spazio topologico, però, non deve per forza essere solo aperto o solo chiuso: in diversi casi potremmo anche trovarci di fronte ad uno dei cosiddetti "insiemi chiuso-aperti": in questo caso la frontiera sarà comunque presente, ma risulterà vuota.

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Calcolo frontiera e punti

Prendiamo in esame un sottoinsieme (E) di numeri reali (⊂R), all'interno del quale dobbiamo trovare un qualsiasi punto (x). X0 sarà un punto di frontiera qualora ogni altro spazio intorno ad esso conterrà almeno un punto in E e uno in Ec (l'insieme complementare). In sostanza: x0 ∈ è un punto di frontiera di E se y1 ∈ E e y2 ∈ Ec. Il simbolo che sta ad indicare la frontiera è ∂, dunque la frontiera di un sottoinsieme potrà essere definita "fr (S)" oppure "∂S". Proviamo adesso a determinare la frontiera di E dato E = [1,2] ∪ {3} ∪ (4,5): i punti saranno appunto 1,2,3,4 e 5 dato che ciascun intorno conterrà sempre almeno un punto dell'insieme e uno del complementare.

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