Come determinare la derivabilità di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

In questa guida vediamo come determinare la derivabilità di una funzione. Si tratta di capire se una funzione in un punto è derivabile devono esistere e coincidere il limite destro e sinistro del rapporto incrementale calcolati nel punto. Individuata quindi la condizione necessaria e sufficiente che garantisce l'esistenza della derivata nel punto del suo dominio e soddisfatta in pieno è verificata la derivabilità nel punto. Quando è necessario verificare la derivabilità lo diventa in alcuni punti laddove possono sorgere dubbi sulla continuità della funzione. Questi punti non sono molti, come potrebbe sembrare, ma alcuni e poi ai limiti degli intervalli di analisi. Di solito vengono individuati a partire da una prima analisi qualitativa della funzione. Conoscere la derivabilità permette di tracciare in dettaglio la funzione nei punti di interesse.

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Il limite del rapporto incrementale

Una derivata esiste se nel punto in questione se il limite del rapporto incrementale esiste, ovvero se i relativi limiti destro e sinistro nel punto hanno lo stesso valore e nel dominio dei numeri reali. È necessario quindi che la funzione sia derivabile sia da destra che da sinistra e che il risultato di entrambe coincida. Questo concetto è fondamentale in quanto permette di capire in quali intervalli di punti nel dominio reale sia possibile derivare la funzione.

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Individuare la derivabilità

La derivabilità è sicuramente molto facile da individuare nella pratica. Viene calcolato il valore della funzione f (X) e viene immesso nel limite del rapporto incrementale X0 e f (X0 + h). Si ottiene una funzione di variabile h e si calcola il limite per i valori di 0+ e 0-. Se questi coincidono allora il punto è derivabile. I valori della funzione che sono pertanto derivabili indicano che la funzione ha soluzione di continuità ed il punto con gli estremi non presentano alcuna interruzione. Questo è un aspetto molto importante nello studio delle funzioni e conviene farlo laddove si individuano possibili punti di discontinuità.

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Consigli e considerazioni

A volte un errore comune è calcolare il limite del rapporto a partire dalla derivata prima. In realtà bisogna partire sempre e solo dalla funzione. Ci sono poi alcuni teoremi che sono utili nel calcolare i limiti del rapporto incrementale. La somma, o differenza, di due funzioni e derivabile. Analogo discorso vale per il prodotto e il quoziente di due funzioni rispettivamente. Infine la composizione di due funzioni derivabili è a sua volta derivabile. Questi teoremi sono utili per affrontare funzioni complicate e risolverle a partire da blocchi più semplici.

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