Come determinare l'esistenza del limite di una funzione

La matematica è sempre stata la materia che ha terrorizzato bambini e ragazzi di qualsiasi generazione, a prescindere dall'indirizzo scolastico. La maggior parte delle complicanze si verifica perché in questa materia i concetti sono tutti l'uno dipendente dall'altro, pertanto basta non comprenderne uno per avere poi problemi negli studi successivi. In ogni caso, la maggior parte dei problemi si incontra alle superiori, quando la maggior parte di numeri viene sostituita con le lettere. La funzione è il rapporto che esiste tra due insiemi, mentre il limite di una funzione rappresenta un concetto comprensibile se si conoscono i basilari concetti topologici. Il limite può essere sia finito che infinito, ma attraverso una serie di calcoli si può risalire ai dati necessari per la sua definizione. In questa guida verrà dunque spiegato nel modo più semplice possibile come determinare l'esistenza del limite di una funzione.

• Calcolatrice scientifica

Il primo concetto basilare che dovete sempre tenere a mente per determinare l'esistenza del limite di una funzione è la regola che dice che se una funzione presenta due limiti essi devono essere identici in ogni caso, senza nessuna eccezione. Se per esempio volete calcolare il limite di una funzione che chiameremo X, non dovete mai pensare che basti conoscere il suo valore per ottenere il risultato che state cercando. In casi molto particolari di funzioni è possibile eseguire il calcolo solo con questi dati, ma questo calcolo è valido soltanto se X rappresenta un punto del dominio della funzione che è stata presa in esame. Si noti che quando una funzione f ha un dominio che ha un infinito negativo, i limiti per questa funzione saranno presenti in tutti i punti del suo dominio.

Se prendete una funzione in opportuni intorni e volete sapere come si comporta all'interno di una proposizione, dovete prendere come esempio un valore che chiameremo A + R, tenendo presente che in questo caso R è semplicemente un punto di accumulazione di A. Se considerate A ed R due limiti, vi accorgerete che essi coincidono sempre. Secondo il Teorema esistenziale, i limiti di funzione in due variabili sono sempre estendibili all'unicità del limite, se confrontati con le operazioni con i medesimi limiti. Ricordatevi che la funzione di una variabile presenta un intorno che in realtà è un segmento. Questo è importante ai fini della dimostrazione dei limiti dell'asintoto obliquo di una funzione. Affinché esista un limite, la funzione deve avvicinarsi ad un valore particolare.

Per scoprire come i due limiti si uniscono senza una direzione prestabilita, basta controllare se lungo una curva prestabilita la funzione ammette limite o no. Per arrivare al risultato finale occorrono diverse verifiche. Una di queste consiste nel controllare se X presenta un limite destro ed uno sinistro uguali. È anche lecito affermare che per dimostrare chiaramente l'esistenza del limite occorre fare il confronto tra infinitesimi in modo da semplificare l'espressione. Se la successione converge significa che è limitata e quindi bisogna applicare sempre le proprietà dei limiti. Fate attenzione a non sbagliare questo passaggio perché se il limite non acquista il valore che assume la funzione bisogna approssimare il valore, anche se esistono alcuni casi di limiti indeterminati.

• Se il limite della funzione è esponenziale esso è sempre positivo

• Esistenza di un limite
• Condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza del limite
• Verifica dei limiti tramite la definizione

• Come risolvere un limite con forma indeterminata infinito/infinito
• Come trovare i punti di non derivabilità