Come determinare l'equazione di una parabola per condizioni

Prima di imparare come determinare l'equazione di una parabola per condizioni, spieghiamo che cos'è. In geometria, il termine definisce una particolare figura curva contenuta nel piano. Essa, esattamente, si ottiene come intersezione di un cono circolare e un piano parallelo ad una retta generatrice del cono (quindi appartenente alla sua superficie). Questa può assumere qualunque inclinazione, anche se a livello scolastico si considerano solo quello orizzontale e quello verticale. Il secondo è un punto, detto fuoco, appartenente all'asse di simmetria sul quale troviamo anche il vertice della parabola. L'asse di simmetria è perpendicolare alla direttrice. Ogni punto della parabola risulta equidistante dalla direttrice e dal fuoco. Come determinare l'equazione di una parabola? I punti di riferimento nel piano che descrivono la peculiarità di una parabola sono tre. Come vedremo, possono essere determinati attraverso tre informazioni sulla parabola definite condizioni. Esse permettono di impostare un sistema di tre equazioni nelle tre incognite a, b e c. In questa guida mostreremo come determinare l'equazione di una parabola per condizioni. Qualcuno si chiede perché è importante scoprirlo? Ebbene, questa figura ha diverse e fondamentali applicazioni in fisica ed ingegneria.

• Conoscenza di base dell'analitica
• Conoscenza degli elementi della parabola
• Saper risolvere sistemi a tre equazioni e tre incognite

L’equazione di una parabola si calcola assegnando diversi tipi di triplici condizioni. Detto in altro modo, si può richiedere che essa passi per tre punti. Due non basterebbero, meno ancora uno: per uno o due punti fissati, infatti, passano infinite parabole. È sufficiente però indicare (o calcolare) le coordinate di un terzo punto per individuare in modo univoco la curva di interesse.

Abbiamo detto che per determinare l'equazione di una parabola per condizioni, le medesime devono essere tre. Le coordinate del vertice o del fuoco corrispondono a due condizioni, perché utilizzando le formule relative ad ascissa e ordinate è possibile scrivere due equazioni. Le equazioni note dell'asse o della direttrice corrispondono entrambe ad una condizione, idem per la tangenza di una retta. Ora elenchiamo alcune possibili condizioni, tramite le quali è fattibile determinare l'equazione della parabola che ci interessa: sono conosciute le coordinate di vertice e fuoco; sono conosciute le coordinate di fuoco (o vertice) e l'equazione della direttrice; la parabola passa per un punto e sono conosciute le coordinate di vertice (o fuoco); la parabola passa per due punti ed è nota l'equazione dell'asse di simmetria; la parabola è tangente ad una retta e passa per due punti o si conosce il vertice (o il fuoco); la parabola passa per un punto e sono note le equazione di direttrice e asse.

Passiamo a qualche esempio pratico dal quale sia possibile capire come determinare l'equazione di un parabola. Assumiamo due casi in cui l'equazione è del tipo y=ax^2+bx+c. Determiniamo l'equazione della parabola passante per il punto P (-1;2) e il cui fuoco ha coordinate F (-2;5/4). Traduciamo tali dati in 3 equazioni da mettere a sistema. Nell'equazione generica y=ax^2+bx+c sostituiamo a x ed y le coordinate del punto P per ottenere la prima equazione, successivamente utilizziamo le formule del fuoco per le altre due e mettiamole a sistema: {2=a-b+c (appartenenza di P); -b/2a=-2 (ascissa del fuoco); 1-(delta)/4a=5/4 (ordinata del fuoco) }. Risolvendo il sistema avremo due parabole con coefficienti a, b e c come segue: a=1 e a=-1/4; b=4 e b=-1; c=5 e c=5/4. L'equazioni delle parabole saranno: y=x^2+4x+5 e y=-1/4x^2-x+5/4;.

• (delta)=b^2-4ac

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