Come determinare l'equazione di una funzione omografica

La relazione omografica tra due variabili reali x, y è una funzione uno-a-uno (invertibile) y = F (x) che implica operazioni algebriche solo tra le variabili x, y. I requisiti algebrici implicano che la relazione abbia forma: y = (ax + b) / (cx + d), con determinante diverso da zero ad-bc (*) equivalentemente: cxy-ax + dy-b = 0. Quindi il grafico della funzione è un'iperbole rettangolare. Questo è l'unico tipo di curva quadratica che rappresenta una funzione reale invertibile della linea estesa a se stessa. Per linea estesa si intende una linea in cui è stato aggiunto un punto aggiuntivo all'infinito. Le relazioni omogenee involutive / non-involutive sono completamente determinate prescrivendo arbitrariamente i valori a due / tre punti arbitrari. Se una relazione omografica f interseca due punti, cioè ci sono (x, y) tali che f (x) = y e f (y) = x, allora f è involutiva. Ecco dunque come determinare l'equazione di una funzione omografica.

• Foglio a quadretti
• Calcolatrice scientifica
• Penna o matita

Il primo è un calcolo facile, in cui le omografie non-involutive sono determinate dai loro valori in tre punti distinti. Ciò segue dall'uguaglianza dei rapporti incrociati (x 1 , x 2 , x 3 , x) = (y 1 , y 2 , y 3 , y), che risolti per y determina l'omografia. La proprietà involutiva equivale alla simmetria dell'iperbole rispetto alla prima diagonale (linea y = x). Questo a sua volta è equivalente alla equazione: a + d = 0. Ciò equivale anche alla posizione del centro O dell'iperbole sulla prima diagonale. Le omografie involutive sono determinate dai loro valori in due punti. La relazione omografica ottiene in questo caso la forma: Axy + B (x + y) + C = 0. Esempi generali di omografie possono essere facilmente costruiti definendo mappe uno-a-uno y = F (x) dei punti di una linea L ai punti di una linea L 'che coinvolgono costruzioni geometriche con punti di intersezione di due linee.

Di particolare interesse sono i punti fissi di tali relazioni, caratterizzati dall'equazione x = F (x) = (ax + b) / (cx + d). Questo è equivalente all'equazione quadratica: cx 2 + (da) x -b = 0, con discriminante D = (a + d) 2 -4 (ad-bc). Le relazioni involutive (a + d = 0) hanno o no (quando ad-bc> 0) o due (quando ad-bc

L'importanza di questo tipo di relazioni deriva dal fatto che rappresentano omografie di spazi proiettivi unidimensionali o linee proiettive. Il modello standard di tale linea è la linea reale compatta con un punto costituita dai numeri reali ai quali è stato aggiunto un punto all'infinito. Un altro modello della linea proiettiva è un intervallo di punti costituito da punti di una linea (nel piano) a cui è stato aggiunto un punto all'infinito. Un terzo tipo di linea proiettiva è la matita delle linee del piano, che emana da un punto fisso, a volte chiamato un intervallo di linee. In tutti questi modelli i loro punti possono essere descritti da classi di coppie di numeri (x, y) diversi da (0,0), due coppie considerate nella stessa classe se sono correlate da (x ', y') = k ( x, y), con un k diverso da zero.

• Il caso particolare di involuzioni corrisponde alla costante k = -1. Inversamente, l'equazione precedente, risolvendo per x ', implica la relazione omografica:

• Funzione omografica
• Parabola grafico e intersezioni