Come determinare l'equazione di un'ellisse per condizioni

Tramite: O2O 27/02/2018
Difficoltà: facile
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Introduzione

Esistono materie scolastiche adorate e quelle che proprio non risultano interessanti per qualche studente. Quando ci si approccia ad una materia con diffidenza, anche gli argomenti semplici diventano complicati. Questo fatto si verifica ad esempio con la matematica, la chimica, la fisica e la geometria. Qui vengono studiate le formule necessarie da applicare per trovare varie misure (quali l'area o il perimetro) relative ad una figura geometrica (come il rettangolo, il trapezio o l'ellisse). Quest'ultima rappresenta una curva piana ottenuta attraverso l'intersezione di un cono ad un piano, la quale forma una curva chiusa. La produzione di tale curva non aperta potrà avvenire soltanto qualora l'inclinazione del piano risultasse superiore a quella della generatrice del cono rispetto al proprio asse. In alternativa l'ellisse potrebbe costituire anche una proiezione verticale su un piano orizzontale di una circonferenza che appartiene ad un piano inclinato. Se quest'ultimo produce un angolo con il piano orizzontale, la proiezione verticale del cerchio rappresenterebbe un'ellisse di eccentricità sin. All'interno di questo tutorial sulla geometrica verrà illustrato al meglio come determinare l'equazione di un'ellisse per condizioni. Nessun problema anche senza avere troppe conoscenze in materia, perché le azioni da compiere risultano semplici.

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Occorrente

  • Libro di algebra
  • Conoscenze di base sulle equazioni
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Conoscere le proprietà dell'ellisse per fare i calcoli in modo corretto

Una condizione necessaria per determinare l'equazione di un'ellisse per condizioni è conoscere tutte le proprietà di questa curva chiusa. Risulta importante sapere se l'ellisse è equilatera, cioè se le due costanti "a" e "b" sono uguali. In qeusto caso avremo un'eqauzione di questo tipo: x^2+y^2=a. A questo punto dobbiamo altresì essere perfettamente in grado di disegnare la figura che ci serve. La risoluzione del problema risulterà così molto più semplice con un riferimento di tipo grafico su cui fare affidamento. Armiamoci dunque di squadra, riga, goniometro e compasso. Andiamo a tracciare la curva che stiamo cercando sostituendo i valori di x ed y. Distingueremo i fuochi dagli altri elementi utilizzando colori diversi. Qualora non ricordassimo le nozioni di base sull'ellisse, sarà meglio controllarle sul manuale di algebra prima di procedere.

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Rintracciare le coordinate di almeno un fuoco

Per determinare l'equazione di un'ellisse per condizioni, si rivela necessario disporre delle coordinate dei fuochi. Se ne conosciamo uno, sapremo automaticamente anche l'altro, senza ricorrere a complicati calcoli matematici. La stessa situazione si può applicare ai vertici e alle direttrici sullo stesso asse. Ricordiamo che l'ellisse ha una forma conica. Di conseguenza il suo centro si trova nell'origine. In tal caso, l'equazione di riferimento è x²/a² + y²/b² =1. Le lettere "a" e "b" stanno a indicare rispettivamente il semiasse orizzontale e quello verticale. Se le coordinate di un fuoco o di un semiasse sono già presenti e il fuoco si trova sull'asse x, serve il semiasse mancante. La formula per trovarlo è a² = b² + c². Se invece il fuoco si trova sull'asse y, la formula da applicare è b² = a² + c².

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Sostituire i parametri dell'equazione in base agli elementi noti

Generalmente, se è presente un fuoco, risulta noto anche il parametro "c". Andiamo dunque a sostituire le coordinate nel punto dell'equazione a² = b² + c² se il fuoco è sull'asse x. Nel caso in cui il fuoco si trovasse sull'asse y, la formula da applicare sarebbe b² = a² + c². Se l'ellisse passa in un punto noto conosciamo l'eccentricità, vanno cambiate le coordinate del punto nell'equazione. Scriveremo quindi e = c/a oppure e = c/b. Le due soluzioni ottenute riguardano rispettivamente l'asse orizzontale maggiore e l'asse verticale maggiore. Se conosciamo la retta tangente all'ellisse come equazione, applichiamo la formula a² = b² + c² o b² = a² + c². Sostituendo le coordinate del punto a "x, y", ricaviamo a² in funzione di b² (o viceversa se abbiamo un punto dell'ellisse).

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Ricontrollare sempre i calcoli fatti poiché più importante della risoluzione stessa è la capacità di saper trovare gli eventuali errori commessi nei passaggi.
  • Ripassare le nozioni principali sull'ellisse.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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