Come determinare l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Dato un grafico di una funzione (più o meno semplice) curvilinea, trovare l'equazione della retta tangente ad essa in un suo determinato punto: questo è un problema piuttosto comune che si può trovare nella branca della geometria analitica. L'equazione finale può trovare svariate applicazioni pratiche nella fisica (cinematica) o nell'ingegneria, ma anche in tanti altri campi nei quali si fa uso dell'algebra. La risoluzione del quesito può essere svolta seguendo un ragionamento abbastanza elementare che vi porterà ad usare (nonché comprendere a pieno) in modo intuitivo il concetto di derivata di funzione, e anche la sua utilità come strumento algebrico. Una volta che avremo ottenuto la dimostrazione di come si risolve il problema, scopriremo che l'effettivo calcolo matematico sarà davvero rapido e banale. In questa semplice ed altrettanto utile guida, perciò, impareremo come determinare l'equazione della retta tangente al grafico di una specifica funzione in un punto preciso che appartiene alla stessa.

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Il grafico di una funzione

Definiamo al meglio il nostro problema: prima di cominciare con la risoluzione è sempre preferibile comprendere che cosa si sta facendo, e in particolar modo cosa stiamo effettivamente cercando! È necessario, perciò, comprendere al meglio cosa è realmente una retta tangente ad determinato punto P che appartiene ad un grafico di una funzione (che definiremo con la lettera minuscola dell'alfabeto "f"): la retta tangente una retta che passa per P senza tagliare la curva che rappresenta il grafico della funzione f.

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Le formule algebriche

Ora che abbiamo introdotto l'argomento dal punto di vista teorico\intuitivo, procediamo con le formule algebriche:
adesso possiamo azzardarci a cercare una retta passante per P e secante a f in un altro suo punto, chiamiamolo con la lettera Q.
Per puntualizzare le idee scriviamo la funzione come y=f (x) e annotiamo le coordinate dei punti come

P=(x1, f (x1)); Q=(x1+h, f (x1+h))

L'equazione di una retta che passa per i punti P e Q è quindi:

(y-f (x1)) / (x- x1) = [f (x1+h) - f (x1)] / [(x1+h) -x1]

Rimane ora da chiederci: dove sta il punto Q? Logicamente egli si trova il più vicino possibile al punto P! Il ragionamento che abbiamo fatto ora si traduce perfettamente e matematicamente con il passare al limite h->0 (ovvero "h" che tende a zero, ma non ci arriva mai).
Notiamo perciò che il termine a destra dell'equazione della retta non è nient'altro che il rapporto incrementale della funzione f nel punto suo Q e, se imponiamo il limite, esso tenderà quindi alla derivata di f in tale punto. Concludiamo perciò dicendo che la retta tangente a f in P si rappresenta con la seguente equazione:
y - f (x1) = f '(x1) * (x- x1).

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La risoluzione del problema

Procediamo con la risoluzione del problema: ora che disponiamo la formula che ci interessa il problema della tangente a un punto si riduce ad un semplice problema di calcolo di derivata della funzione in quel preciso punto e, successivamente, di applicare la formula precedentemente mostrata, sostituendo adeguatamente questo valore a f'(x1), ovvero alla derivata. Può sembrare un qualcosa di banale e scontato, eppure ciò ci fa comprendere che vi sono alcune funzioni che, in specifici punti, non ammettono l'esistenza di tangente e perciò se i calcoli vengono eseguiti distrattamente può anche capitare che (su un punto angoloso) ne troviate più di uno solo.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • date sempre la priorità alle conoscenze di base, se si sanno le basi tutto è semplice
  • non fatevi spaventare dalle formule e dai calcoli, sono solo numeri!
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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