Come determinare l'equazione della retta tangente al grafico di una funzione

Dato un grafico di una funzione (più o meno semplice) curvilinea, trovare l'equazione della retta tangente ad essa in un suo determinato punto: questo è un problema piuttosto comune che si può trovare nella branca della geometria analitica. L'equazione finale può trovare svariate applicazioni pratiche nella fisica (cinematica) o nell'ingegneria, ma anche in tanti altri campi nei quali si fa uso dell'algebra. La risoluzione del quesito può essere svolta seguendo un ragionamento abbastanza elementare che vi porterà ad usare (nonché comprendere a pieno) in modo intuitivo il concetto di derivata di funzione, e anche la sua utilità come strumento algebrico. Una volta che avremo ottenuto la dimostrazione di come si risolve il problema, scopriremo che l'effettivo calcolo matematico sarà davvero rapido e banale. In questa semplice ed altrettanto utile guida, perciò, impareremo come determinare l'equazione della retta tangente al grafico di una specifica funzione in un punto preciso che appartiene alla stessa.

Definiamo al meglio il nostro problema: prima di cominciare con la risoluzione è sempre preferibile comprendere che cosa si sta facendo, e in particolar modo cosa stiamo effettivamente cercando! È necessario, perciò, comprendere al meglio cosa è realmente una retta tangente ad determinato punto P che appartiene ad un grafico di una funzione (che definiremo con la lettera minuscola dell'alfabeto "f"): la retta tangente una retta che passa per P senza tagliare la curva che rappresenta il grafico della funzione f.

Ora che abbiamo introdotto l'argomento dal punto di vista teorico\intuitivo, procediamo con le formule algebriche:
adesso possiamo azzardarci a cercare una retta passante per P e secante a f in un altro suo punto, chiamiamolo con la lettera Q.
Per puntualizzare le idee scriviamo la funzione come y=f (x) e annotiamo le coordinate dei punti come

P=(x1, f (x1)); Q=(x1+h, f (x1+h))

L'equazione di una retta che passa per i punti P e Q è quindi:

(y-f (x1)) / (x- x1) = [f (x1+h) - f (x1)] / [(x1+h) -x1]

Rimane ora da chiederci: dove sta il punto Q? Logicamente egli si trova il più vicino possibile al punto P! Il ragionamento che abbiamo fatto ora si traduce perfettamente e matematicamente con il passare al limite h->0 (ovvero "h" che tende a zero, ma non ci arriva mai).
Notiamo perciò che il termine a destra dell'equazione della retta non è nient'altro che il rapporto incrementale della funzione f nel punto suo Q e, se imponiamo il limite, esso tenderà quindi alla derivata di f in tale punto. Concludiamo perciò dicendo che la retta tangente a f in P si rappresenta con la seguente equazione:
y - f (x1) = f '(x1) * (x- x1).

Procediamo con la risoluzione del problema: ora che disponiamo la formula che ci interessa il problema della tangente a un punto si riduce ad un semplice problema di calcolo di derivata della funzione in quel preciso punto e, successivamente, di applicare la formula precedentemente mostrata, sostituendo adeguatamente questo valore a f'(x1), ovvero alla derivata. Può sembrare un qualcosa di banale e scontato, eppure ciò ci fa comprendere che vi sono alcune funzioni che, in specifici punti, non ammettono l'esistenza di tangente e perciò se i calcoli vengono eseguiti distrattamente può anche capitare che (su un punto angoloso) ne troviate più di uno solo.

• date sempre la priorità alle conoscenze di base, se si sanno le basi tutto è semplice
• non fatevi spaventare dalle formule e dai calcoli, sono solo numeri!

• approfondimento sulle derivate
• esempio di utilizzo pratico