Come determinare il sottospazio ortogonale

In geometria, cioè nella disciplina che studia gli spazi, si devono definire sistemi di rifermento per poter proseguire nelle indagini. In generale in uno spazio a N dimensioni si può definire un sottospazio che possieda fino a N assi, anche se naturalmente se ne possono costruire di più piccoli. Non esiste una regola generale su come devono essere gli assi. Potrebbero formare angoli di ogni tipo fra loro, ed avere suddivisioni arbitrarie. Per comodità se ne usano ortogonali con suddivisioni tutte uguali per non dover fare troppi calcoli. Vediamo come si fa a determinare il sottospazio ortogonale.

• Prontuario di algebra lineare

Dato uno spazio vettoriale V, in algebra lineare si ha sottospazio vettoriale, se si può estrarre un sottoinsieme di quello originale, che abbia proprietà tali da farne a sua volta uno spazio vettoriale. Per esempio sottospazi vettoriali sono le rette e i piani di uno spazio euclideo che passano per l'origine. Si definisca un campo K, uno spazio vettoriale V, ed un sottoinsieme non vuoto W di V. W è un sottospazio vettoriale di V su K se le operazioni di somma e moltiplicazione per scalare sono definite e W risulta chiuso rispetto ad esse. Se W è sottospazio vettoriale e "u" e "v" sono suoi elementi, la loro somma s=u+v è un elemento di W. Se c è uno scalare in K, c+u è un elemento di W se u è un elemento di W. Le condizioni di somma e moltiplicazione per scalare possono essere combinate e danno esiti in W. Si dicono "sottospazi banali" V e {0}.

Definito uno spazio vettoriale V se può estrarre un sottospazio W, come visto sopra con le stesse proprietà algebriche di quello originale. Da questo sottospazio W se ne può ricavare uno nuovo che chiameremo U, detto sottospazio ortogonale. Il sottospazio ortogonale è munito di prodotto scalare, e quando questo è definito positivo, si chiama complemento ortogonale. In parole povere il sottospazio ortogonale U è formato da vettori tutti ortogonali rispetto a W, che si calcolano con un processo algebrico lineare. La condizione di ortogonalità fra vettori si traduce in un prodotto scalare nullo, ossia v*u=0 dove v ed u sono vettori appartenenti al sottospazio e al complemento rispettivamente.

Per calcolare il sottospazio ortogonale per prima cosa se ne deve determinare una base, cioè una N-upla di vettori di riferimento. Si parte dalla base S del sottospazio originale che definiamo come S=[s1....sn] dove gli "si" sono vettori che possono essere esplicitati nello spazio V. Si prende quindi la base S che è una matrice, e la si moltiplica per un vettore colonna C=[x...z] che definisce la base ortogonale. Il prodotto scalare S*C=0 risolto rispetto alle incognite espresse in C ci fornirà la base ortogonale che stiamo cercando.

• Evitate l'uso di basi non ortogonali per i sottospazi da complementare

• Sottospazio ortogonale