Come determinare il sottospazio generato dai vettori

Imparare ed apprendere nuovi concetti matematici non è affatto semplice e, a volte, risulta necessario un ripasso. Succede spesso che alcune teorie vengano solo accennate, lasciando molti dubbi a chi ha il compito di studiarle per bene. Un concetto abbastanza difficile da capire è quello del sottospazio vettoriale che apparitene al campo dell'algebra lineare. Il sottospazio vettoriale è uno spazio ben determinato che si trova all'interno di uno spazio vettoriale. Vuoi saperne di più? Ecco, allora, come determinare il sottospazio generato dai vettori.

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In algebra esistono definizioni chiare ed univoche per ogni cosa. L'algebra, dunque, definisce il sottospazio generato dai vettori come un sottoinsieme, o più banalmente, come una parte dello stesso spazio vettoriale. Questo sottospazio, per essere tale, deve possedere delle caratteristiche ben precise. La prima afferma che per ogni coppia di elementi che risiede nel sottospazio, anche la loro somma deve necessariamente risiedere all'interno del sottospazio. La seconda, invece, afferma che ogni elemento che abita nel sottoinsieme, se moltiplicato per un scalare del campo (il campo è tutto la spazio in cui ci si muove) da un risultato che risiede ancora all'interno del sottospazio vettoriale. In pratica, il sottoinsieme è definito dalle somme e dalle moltiplicazioni dei suoi elementi per uno scalare. Inoltre, a sua volta, il sottospazio vettoriale è anch'esso uno spazio vettoriale.

È necessario sapere che in algebra lineare, alcuni sottospazi creati da vettori, sono già definiti e conoscerli ritorna molto utile nella pratica. Ad esempio, il sottospazio più piccolo esistente in un campo vettoriale è l'origine. Dunque, l'origine, da sola, è un sottospazio completo che soddisfa i requisiti richiesti. Altri sottospazi da conoscere sono una qualsiasi retta o un qualsiasi piano appartenenti al campo vettoriale che passano per l'origine.

Per determinare il sottospazio generato dai vettori e svolgere gli esercizi, bisogna soddisfare le due caratteristiche fondamentali che definiscono il sottospazio. Il primo passo da fare è impostare un equazione in cui si deve verificare che la somma dei due vettori soddisfi una determinata caratteristica fornita dall'esercizio. Dunque, al posto di y ed x dovrai scrivere (y1+y2) e (x1+x2). Adesso, dovrai svolgere l'equazione normalmente e vedere se la prima caratteristica viene soddisfatta. Ora, potrai procedere e occuparti della moltiplicazione, impostando l'equazione con un generico scalare lambda che viene moltiplicato per la caratteristica che deve essere soddisfatta.

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