Come determinare il seno, il coseno e la tangente

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Introduzione

La Trigonometria, insieme alla Goniometria, è la branca della Matematica che studia le funzioni trigonometriche e mette in relazione la Geometria Piana con l'Analisi Matematica, fornendo un approccio analitico allo studio della Geometria. In matematica, le funzioni trigonometriche vengono sempre espresse in relazione ad un angolo e, per tale motivo, sono definite come funzioni d'angolo. Vengono di solito espresse come i rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo contenenti l'angolo oppure come le lunghezze di diversi segmenti costruiti lungo una circonferenza.
Lo studio delle funzioni trigonometriche si perde nella notte dei tempi ed è stato studiato da diversi popoli e da molti studiosi. Alcune testimonianze dimostrano che addirittura i babilonesi studiarono la trigonometria. Una quantità considerevole del lavoro fondamentale fu svolto anche dai matematici greci, indiani e persiani. Nell'uso corrente, vi sono sei funzioni trigonometriche di base: seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante.
In questa guida prenderemo in esame come determinare il seno, il coseno e la tangente.

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Definizione geometrica

Prima di iniziare bisogna ricordare la formula principale della trigonometria, secondo la quale la somma del seno al quadrato più il coseno al quadrato di un dato numero è sempre uguale ad 1: Sen^2(x) + cos^2 (x)= 1. Geometricamente, possiamo facilmente determinare seno e coseno tramite la circonferenza goniometrica. La circonferenza goniometrica è una circonferenza posta su un piano di assi cartesiani, centrata nell'origine e di raggio 1. Rappresentiamo sulla circonferenza goniometrica tutti gli angoli orientati e i corrispondenti archi di circonferenza. Ogni angolo sulla circonferenza goniometrica è individuato da un lato orizzontale sull'asse x, che incontra la circonferenza in un punto A, e da un secondo lato che incontra la circonferenza in un unico punto P. Ad ogni angolo possiamo quindi associare un unico punto P, in cui XP è il coseno e yp è il seno. In altre parole, se consideriamo un qualunque raggio della circonferenza, questo formerà con l'asse x un angolo, che chiameremo a. Definiamo coseno dell'angolo a la proiezione del raggio sull'asse delle x e seno dell'angolo a la proiezione del raggio sull'asse delle y. Viene così a formarsi un triangolo rettangolo, in cui a è l'angolo opposto all'angolo retto. Possiamo definire le due funzioni anche mediante i rapporti tra i lati del triangolo rettangolo che contiene l'angolo in esame. In particolare, il seno è il rapporto tra la lunghezza del lato opposto all'angolo e la lunghezza dell'ipotenusa; il coseno è il rapporto tra la lunghezza del lato adiacente all'angolo in esame e la lunghezza dell'ipotenusa. La tangente, infine, è il rapporto tra la lunghezza del lato opposto e la lunghezza del lato adiacente, quindi, banalmente, è il rapporto tra il seno e il coseno.

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Il seno e il coseno

Matematicamente, non è sempre facile calcolare i valori di seno e coseno, ma per alcuni angoli se ne conoscono i valori. Entrambe le funzioni sono funzioni periodiche di periodo 2π, ovvero di una circonferenza. Questo vuol dire che, dopo aver compiuto un giro di circonferenza i loro valori cominciano a ripetersi. I valori di seno e coseno variano da -1 a 1 e la loro funzione può essere rappresentata in grafico mediante delle curve che prendono rispettivamente il nome di sinusoide e cosinusoide.
Se si vuole calcolare correttamente il coseno di un numero algebricamente basta eseguire la seguente formula: cos (2x) = cos^2(x) - sen^2(x) = 1- 2sen^2(x) = 2cos^2(x) - 1.

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La tangente

La tangente di un angolo sulla circonferenza goniometrica è l'ordinata del punto T di intersezione fra il secondo lato e la retta x=1 tangente alla circonferenza nel punto A. La funzione tangente è una funzione periodica di periodo π, quindi varia ogni 180°, ovvero mezzo giro di circonferenza e può assumere infiniti valori. La funzione tangente viene calcolata a partire dal seno e dal coseno, infatti essa è uguale a sen (x) / cos (x). Questa formula rappresenta la seconda relazione fondamentale della trigonometria. La tangente goniometrica dell'angolo a è il coefficiente angolare della retta che forma un angolo con l'asse delle x. Se si vuole calcolare la tangente algebricamente basta seguire le seguenti formule:
Tg (x) = sen (x) / cos (x) e rispettive formule inverse
Tg (x+y) = [senxcosy + cosxseny] / [cosxcosy - senxseny]
Tg (x+y) = [senxcosy - cosxseny]/cosxcosy + senxseny]
Tg (2x) = [2senxcosx] / [2cos^2(x) - 1].

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