Come determinare il segno di una una forma quadratica

Per gli studenti di facoltà scientifiche, le materie teoriche rappresentano spesso un ostacolo che sembra insormontabile. In particolare, una delle materie che più spaventa gli studenti è l'algebre lineare, spesso associata anche alla geometria. In questo corso vengono studiate le basi della teoria matematica: matrici, spazi vettoriali e autovalori, etc. Per superare l'esame è necessario affrontare una prova scritta, in cui lo studente dovrà risolvere alcuni esercizi. Tra questi capita spesso di incontrare lo studio delle forme quadratiche. Vediamo in questa guida come determinare il segno di una forma quadratica.

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La forma quadratica è definita in algebra e geometria analitica come un polinomio omogeneo, cioè in cui tutti gli elementi sono dello stesso grado del polinomio, in questo caso di secondo grado. Il numero di variabili n può essere qualsiasi. Un esempio classico di forma quadratica è l'equazione che determina la distanza tra due punti nello spazio euclideo. Le forme quadratiche godono di diverse proprietà, utili nel loro studio. Esistono inoltre diversi criteri usati per determinare se un polinomio sia o meno una forma quadratica. Le forme quadratiche si dividono in forme quadratiche isotrope e forme quadratiche anisotrope.

Il primo passo da fare per poter determinare il segno di una forma quadratica è quello di ricavare la sua matrice associata. La matrice associata non è altro che la matrice dei coefficienti dei vari monomi che compongono il polinomio. Essa sarà quindi una matrice quadrata, cioè in cui il numero di righe è uguale al numero di colonne, di dimensioni m x m, in cui m è il numero di variabili. La matrice associata può essere anche parametrica se nella forma quadratica era parametrizzata. Quando ricavate la matrice associata, ricordate che i doppi prodotti generano un fattore 1/2 nei loro coefficienti all'interno della matrice.

A questo punto è possibile studiare il segno della forma quadratica, valutando i determinanti dei minori principali della matrice. La forma quadratica risulterà definita positiva se e soltanto se tutti i minori hanno il determinante maggiore o uguale a zero. È definita negativa se e soltanto se i minori principali di ordine pari hanno il determinante maggiore o uguale a zero. È semidefinita negativa se i minori di ordine pari hanno determinate maggiore o uguale a zero e i minori di ordine dispari lo hanno minore o uguale a zero. Nei restanti casi la forma quadratica è indefinita.

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