Come determinare il segno di una funzione esponenziale

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il caso più semplice da determinare, non lasciatevi impressionare, le funzioni esponenziali a prima vista potrebbero risultare ostiche, personalmente anche io ai tempi del liceo, solamente sentendo il nome pensavo a un qualcosa di estremamente difficile, ma in realtà tra le varie funzioni risultano essere le più semplici da studiare, specie per lo studio del segno. Vediamo in tre brevi passi come determinarlo.

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Dominio

La prima cosa da fare quando si conduce uno studio di funzione è la determinazione del dominio, ossia il campo in cui una essa è definita, nonché gli eventuali punti in cui si annulla. A scopo esemplificativo consideriamo una semplice funzione del tipo y (x)= a^(x-2). Pertanto tale funzione esiste se "a" appartiene all'intervallo (0 ; +∞). Il suo dominio è il seguente D= (-∞ ; + ∞).

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Punti di nullo

Il secondo passo consiste nell'andare a vedere se la funzione presenta dei punti di nullo, il che significa andare a porre la funzione uguale a zero, cioè a^(x-2)=0, e vedere per quali valori di x si annulla. Essendo definita da meno infinito a più infinito (questo vale per tutte le funzioni esponenziali) si evince che essa non si annullerà mai, infatti provando a sostituire ad x un qualsiasi valore si noterà che il risultato della funzione sarà sempre diverso da zero. Es. X=-10 e a= 5 => y= 5^(-10-2) = 1/ 5^(12) = 1/244140625 = 0,000000004096. Ovviamente io ho scelto un numero basso per comodità di calcolo, ma potrete verificare voi stessi che assegnando ad x un numero a vostro piacimento il risultato sarà sempre diverso da zero.

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Segno

Terzo ed ultimo passo, il segno della funzione. Per la valutazione del segno basterà imporre che la funzione sia maggiore di zero e minore di zero, tuttavia il secondo caso non si verificherà mai, poiché questo vorrebbe dire andare a considerare una base negativa e una funzione esponenziale non esiste se la sua base è negativa. Pertanto l'unico caso da considerare è il primo, ossia y>0, disequazione che nel caso delle funzioni esponenziali sarà sempre verificata, in quanto sapendo che tali funzioni hanno un andamento asintotico, il loro grafico tenderà sempre più ad infinito senza ma intersecare l'asse delle ascisse. Possiamo quindi affermare che una funzione esponenziale è sempre positiva. Dopo ciò, spero che la vostra idea sulle funzioni esponenziali cambi, come accennato già in partenza, sono le più semplici da studiare in quanto la determinazione del dominio è immediata così come la determinazione del loro segno.

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