Come determinare il carattere di una serie

tramite: O2O
Difficoltà: media
17

Introduzione

La serie è un'evoluzione delle successioni ricorsive. Presenta come argomento una successione e ogni termine della serie è una somma dei termini precedenti. Ad esempio prendiamo una serie di ragione q elevato ad n. Il primo termine è q, il secondo temine sarà q+q^2, il terzo sarà q+q^2+q^3, ecc... Determinare il carattere di una serie è un processo laborioso e che richiede alcune basi di teoria, ma non temete, con questa guida spiegheremo passo passo come fare!

27

Occorrente

  • Foglio
  • Penna
37

Il primo passo è applicare il criterio di convergenza di Cauchy, che afferma che per far convergere una serie il suo termine n-esimo deve essere infinitesimo, e questa è una condizione necessaria per la convergenza. Per provare questo teorema basta fare il limite dell'argomento della serie per n che tende ad infinito. Se questo limite è uguale a zero allora la serie può convergere, se invece tale limite tende ad infinito o ad un qualsiasi altro numero allora la serie diverge. Nell'immagine viene illustrato il procedimento di risoluzione di una particolare tipo di serie, la serie geometrica.

47

Una volta verificato il criterio di Cauchy sulla serie prescelta dobbiamo identificare il tipo di serie. Se il criterio ci dice che la serie potrebbe convergere conviene verificare se questa serie appartiene alle serie "notevoli" per le quali la determinazione del carattere è immediata. Se la serie è geometrica, possiede quindi un numero elevato ad n, si determina il carattere e la somma seguendo l'immagine nel passo precedente. Se la serie è invece scritta come 1/(n^i), con i maggiore di 1, la serie converge per definizione. Se la serie viene invece definita come serie telescopica, quindi può essere semplificata come la differenza tra due termini, allora la somma della serie potrà essere calcolata svolgendo la serie per 2 o 3 passi e calcolando il resto all'infinito.

Continua la lettura
57

Se la sere non appartiene a nessuna delle altre notevoli non resta che applicare i due teoremi più importanti per determinare il carattere della serie: il teorema de confronto e il teorema del confronto asintotico. Il teorema del confronto consiste nell'impostare una disequazione tra la serie della quale vogliamo conoscere il carattere e una serie nota. Da notare che se impostiamo che la nostra serie è minore di una serie convergente ne dimostriamo la convergenza, se invece la poniamo come maggiore di una serie divergente allora a prescindere ne proviamo la divergenza. Per quanto riguarda il confronto asintotico si utilizza un sistema simile. Si sceglie una serie di cui conosciamo già il carattere, e si divide la serie di partenza con la serie appena scelta. Facendo il limite per n che tende a più infinito scopriremo il carattere. Se dividiamo la serie con una serie convergente e otteniamo un numero qualsiasi svolgendo il limite allora la serie convergerà, se otteniamo più infinito divergerà, se otteniamo zero la serie convergerà. Se invece dividiamo la serie di partenza con una serie divergente e dal limite otteniamo più infinito o un numero la serie sarà divergente, se otteniamo zero non potremo dare nessuna informazione sulla serie di partenza.

67

Guarda il video

77

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Esercitatevi molto dopo aver studiato la teoria
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Segnala il video che ritieni inappropriato
Devi selezionare il video che desideri segnalare
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come calcolare la convergenza di un integrale

La matematica è una delle materie più temute dallo studente medio. Sin dalle scuole dell'obbligo è il principale spauracchio di intere classi, ed è considerata disciplina per "secchioni". Col proseguire del corso di studi, teoria ed esercizi diventano...
Università e Master

Come Stabilire Il Carattere Di Un Integrale Improprio

Quando si vuole calcolare l'integrale di una funzione definita su un intervallo illimitato, oppure illimitato in prossimità di un numero infinito di punti, l'integrale in questione si chiama improprio. Non sempre è possibile calcolarlo, però tramite...
Università e Master

Come sommare una serie armonica generalizzata

La matematica è uno di quegli argomenti che cresce ogni giorno. C'è sempre qualcosa di nuovo da scoprire o capitoli da approfondire, che potrebbero portare a nuove teorie o scoperte. Una di queste è senza dubbio la serie, che ha permesso di fare la...
Università e Master

Come studiare il carattere di una serie numerica

Molto spesso durante i nostri studi, siano essi scolastici o universitari, possiamo fare i conti con delle tematiche, degli argomenti e delle materie che possono crearci moltissimi grattacapi. Purtroppo non comprendere appieno un determinato argomento...
Superiori

Come calcolare l'ascissa di convergenza

Se stai leggendo questo articolo significa che probabilmente hai bisogno di determinare l'ascissa di convergenza per risolvere un problema matematico. Per calcolare il suo valore è però necessario fare un passo indietro, partendo dalla definizione di...
Superiori

Come studiare la convergenza di un integrale improprio

La guida che presentiamo di seguito è rivolta ai ragazzi delle scuole superiori ma anche a chi frequenta il primo anno di università in quanto l'argomento che si andrà a trattare sono gli integrali impropri. Le conoscenze richieste sono minime dal...
Superiori

Teorema di De L'Hopital: dimostrazione

Spesso quando si studiano funzioni, o comunque in tanti altri casi, a seconda delle esigenze di studio occorre sapere come si possono calcolare i limiti. Talvolta tale calcolo risulta difficoltoso e questo nella maggior parte dei casi è dovuto al fatto...
Università e Master

Teorema di Dirichlet: dimostrazione

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet fu un matematico tedesco. Nacque a Duren, dove il padre lavorava come direttore all'Ufficio Postale. Il giovane Dirichlet studiò in Germania e in Francia, dove ebbe modo di conoscere molti dei più celebri matematici...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.