Come determinare il carattere di una serie

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Difficoltà: media
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Introduzione

La serie è un'evoluzione delle successioni ricorsive. Presenta come argomento una successione e ogni termine della serie è una somma dei termini precedenti. Ad esempio prendiamo una serie di ragione q elevato ad n. Il primo termine è q, il secondo temine sarà q+q^2, il terzo sarà q+q^2+q^3, ecc... Determinare il carattere di una serie è un processo laborioso e che richiede alcune basi di teoria, ma non temete, con questa guida spiegheremo passo passo come fare!

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Occorrente

  • Foglio
  • Penna
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Il primo passo è applicare il criterio di convergenza di Cauchy, che afferma che per far convergere una serie il suo termine n-esimo deve essere infinitesimo, e questa è una condizione necessaria per la convergenza. Per provare questo teorema basta fare il limite dell'argomento della serie per n che tende ad infinito. Se questo limite è uguale a zero allora la serie può convergere, se invece tale limite tende ad infinito o ad un qualsiasi altro numero allora la serie diverge. Nell'immagine viene illustrato il procedimento di risoluzione di una particolare tipo di serie, la serie geometrica.

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Una volta verificato il criterio di Cauchy sulla serie prescelta dobbiamo identificare il tipo di serie. Se il criterio ci dice che la serie potrebbe convergere conviene verificare se questa serie appartiene alle serie "notevoli" per le quali la determinazione del carattere è immediata. Se la serie è geometrica, possiede quindi un numero elevato ad n, si determina il carattere e la somma seguendo l'immagine nel passo precedente. Se la serie è invece scritta come 1/(n^i), con i maggiore di 1, la serie converge per definizione. Se la serie viene invece definita come serie telescopica, quindi può essere semplificata come la differenza tra due termini, allora la somma della serie potrà essere calcolata svolgendo la serie per 2 o 3 passi e calcolando il resto all'infinito.

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Se la sere non appartiene a nessuna delle altre notevoli non resta che applicare i due teoremi più importanti per determinare il carattere della serie: il teorema de confronto e il teorema del confronto asintotico. Il teorema del confronto consiste nell'impostare una disequazione tra la serie della quale vogliamo conoscere il carattere e una serie nota. Da notare che se impostiamo che la nostra serie è minore di una serie convergente ne dimostriamo la convergenza, se invece la poniamo come maggiore di una serie divergente allora a prescindere ne proviamo la divergenza. Per quanto riguarda il confronto asintotico si utilizza un sistema simile. Si sceglie una serie di cui conosciamo già il carattere, e si divide la serie di partenza con la serie appena scelta. Facendo il limite per n che tende a più infinito scopriremo il carattere. Se dividiamo la serie con una serie convergente e otteniamo un numero qualsiasi svolgendo il limite allora la serie convergerà, se otteniamo più infinito divergerà, se otteniamo zero la serie convergerà. Se invece dividiamo la serie di partenza con una serie divergente e dal limite otteniamo più infinito o un numero la serie sarà divergente, se otteniamo zero non potremo dare nessuna informazione sulla serie di partenza.

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Consigli

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