Come determinare i punti di intersezione tra due rette

In geometria analitica si va ad indagare il comportamento e le relazioni fra le funzioni ed è una piccola branca della matematica, che per è fondante per calcoli più avanzati. Le prime parti dell'analisi sono quelle che studiano le rette, sia singole, a coppie e a fasci. Due rette in un piano possono trovarsi in due e solo due condizioni: parallele o secanti. Due rette parallele non si incontrano mai se non all'infinito, che è una maniera per dire che non esistono punti di intersezione. Due rette secanti, invece hanno un punto in comune, detto intersezione, e formano 4 angoli, uguali a coppie, il cui valore dipende da un fattore importante che si chiama "coefficiente angolare". Ogni retta ha il proprio coefficiente e le relazioni fra quelli delle varie rette ci aiutano a calcolare l'angolo che le rette formano, In questa guida vedremo come determinare i punti di intersezione tra due rette.

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• Riga
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La generica equazione di una retta può esprimersi in due modi: forma esplicita e implicita. Vediamo la differenza. La forma esplicita è data dal rapporto: y = mx+q oppure x= my+q. In tali formule y e x rappresentano le variabili, m è il coefficiente angolare (m=y2-y1/x2-x1) e q è l'intercetta. In forma implicita, invece, la retta si scrive: ax+by+c = 0. Per calcolare gli eventuali punti di intersezione, è opportuno che le due rette considerate siano espresse in forma analoga. Si dovranno poi porre le due rette a sistema e calcolare le soluzioni. La forma a sistema si impiega per indicare che le sue rette, o curve, devono essere studiate insieme, ed in particolare si impiegano per determinare insiemi di punti che soddisfino le condizioni imposte. Per risolvere il sistema, è possibile impiegare metodi differenti: metodo di sostituzione, grafico, del confronto, di riduzione e infine metodo di Cramer. Molti di questi metodi sono però didattici e macchinosi, e ci dedicheremo solo a quello di Cramer che è il più efficiente.

Una volta riscritte le rette in forma esplicita o implicita, l'importante è che siano uniformi per questioni pratiche, si passa all'impiego del metodo di Cramer. Gli altri sistemi che sono stati citati, in realtà non sono i più consigliabili, in una prospettiva di lunga durata. Il metodo di Cramer implica un approccio al mondo delle matrici, che sono utilissime in matematica ed hanno applicazioni nei campi dell'ingegneria. Per iniziare la risoluzione si deve scrivere il sistema in forma di matrice. Si scrivono le equazioni nella forma y+ax=b. La regola vuole che a sinistra si passi a scrivere la matrice M e il vettore colonna z rispettivamente coefficienti e incognite, a destra invece il vettore colonna dei termini noti. A questo punto introduciamo il concetto di determinante, che vedremo come semplice operatore det(M)=m11*m22-m21*m12 dove i pedici indicano riga e colonna del temine m.

L'importanza del determinate è molto alta, perché ci permette di studiare agevolmente grossi sistemi di equazioni lineari senza dover effettuare molti calcoli. Il calcolo del Det(M) ci fornisce una prima indicazione, perché se il suo valore è nullo, le rette sono parallele e prive di intersezione. Una volta escluso il parallelismo, si può andare a verificare l'intersezione. Si creano due matrici ausiliarie. Mx è la matrice in cui al posto della colonna dei coefficienti che moltiplicano le x si sostituisce la colonna dei valori noti, stessa cosa si fa per My. Si calcolano i determinanti det(Mx) e det(My). A questo punto calcoliamo il rapporto det(Mx)/det(M) e det(My)/det(M) che ci forniscono le coordinate del punto di intersezione. Notiamo alcune cose: due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi è bene valutarlo prima di fare tutti i conti. Due rette perpendicolari hanno coefficienti angolari l'uno antireciproco dell'altro. La regola di Cramer estesa permette il calcolo dell'intersezione fra più rette ed il loro studio.

• IMparate ad usare le matrici il prima possibile, ma non trascurate i comuni metodi algebrici

• Intersezione tra due rette.
• Regola di Cramer