Come determinare i punti di accumulazione di un insieme

tramite: O2O
Difficoltà: media
17

Introduzione

Nell'ambito dell'analisi matematica sono di fondamentale importanza gli insiemi numerici, data la loro necessaria conoscenza ai fini dell'apprendimento delle capacità utili per lo studio delle funzioni. Imparare come determinare i punti di accumulazione di un insieme non sarà difficile soltanto se si possiede una buona conoscenza di cosa sia un insieme numerico.
Per definizione sappiamo che un insieme X si dice "insieme numerico" se risulta che X è contenuto in R (R = insieme dei numeri reali). È possibile definire, inoltre, moltissime proprietà e caratteristiche di un insieme numerico (insiemi limitati superiormente, inferiormente, maggioranti, minoranti, intervalli e così via), ma per la ricerca dei punti di accumulazione basta sapere cos'è un intorno di un insieme.

27

Occorrente

  • Buona conoscenza della teoria sugli insiemi e sugli insiemi numerici
37

Capire cos'è un intorno

Concettualmente (e non per definizione) un intorno I di un punto x e raggio d>0 è l'intervallo aperto I (x) = ]x - d, x + d[. È cioè l'insieme di tutti quei punti che stanno a sinistra e a destra di un punto x (appartenente a X) per un "raggio" di grandezza d.
Utilizzando gli intorni possiamo andare a conoscere la natura di tutti i punti dell'insieme numerico preso in considerazione.
Un punto di un insieme può essere interno, esterno, isolato, di frontiera e, come si analizzerà in seguito, di accumulazione.
Ad esempio, dato un insieme X = [2, 6], cioè l'insieme formato da tutti i punti compresi fra 2 e 6, l'intorno I, del punto 4 di raggio d=1 sarà I (4)=[3, 4[ U ]4, 5].

47

Conoscere la definizione di punto di accumulazione

Prima di passare all'applicazione pratica, bisogna capire la definizione di punto di accumulazione in un insieme numerico.
Dato un insieme X e un punto x appartenente a X per ogni raggio d > 0, si dirà che x è un punto d'accumulazione per X se l'intorno I (x) intersecato all'insieme X è diverso dall'insieme vuoto.
In altre parole si intende dire che comunque preso un intorno (non basta trovarne uno, ma tutti gli intorni devono soddisfare la proprietà) del punto in considerazione risulti che l'intorno abbia dei punti in comune con l'insieme. Compresi a dovere i concetti di intorno e punto di accumulazione, l'applicazione pratica risulterà molto semplice.

Continua la lettura
57

Identificare l'insieme sul quale si lavora

Il primo passo da compiere è quello di identificare l'insieme sul quale si sta lavorando.
Prendiamo ad esempio l'insieme X = N u ]3, 6] (insieme dei numeri naturali unito all'intervallo semiaperto a sinistra 3, 6).
L'insieme avrà i seguenti elementi: {0, 1, 2, 3 - 6, 7, 8, 9 ...}
Riconoscere l'insieme è molto importante. Nel caso in cui l'insieme sia rappresentato in maniera estensiva - elemento per elemento - non si incontrerà alcuna difficoltà. Tuttavia se l'insieme è descritto in modo intensivo (come nel nostro caso) - e cioè tramite una legge che accomuna tutti gli elementi dell'insieme - si dovrà essere in grado di interpretare al meglio la legge.

67

Trovare i punti d'accumulazione dell'insieme

Identificato l'insieme, è chiaro che per trovare un punto di accumulazione, bisogna lavorare laddove ogni intorno sia diverso da insieme vuoto e cioè nell'intervallo ]3, 6]. Se si prova a prendere, infatti, un intorno di 8 con raggio 1/2 è facile vedere che questo è uguale all'insieme vuoto.
Poiché nell'intervallo ]3, 6] gli elementi (o i punti) sono infiniti sarà impossibile trovare un intorno di x tale che I (x) = insieme vuoto.
Tutti i punti compresi tra 3 e 6 (esclusi) sono punti d'accumulazione per l'insieme in questione e l'insieme dei punti di accumulazione di un insieme X si chiama "derivato di X".

77

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Leggere e comprendere bene le definizioni
  • Interpretare in maniera corretta la legge che regola l'insieme numerico

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Superiori

Come determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti

Salve! Benvenuti alla guida con la quale impareremo come determinare le equazioni di tutte le circonferenze passanti per due punti in comunque tra loro.  Dopo questa guida diventeremo molto veloci semplicemente partendo dalle conoscenze base sulle circonferenze...
Superiori

Come determinare i punti di intersezione tra due rette

C'è una branca della matematica, chiamata geometria analitica o geometria cartesiana, che tutti gli studenti delle Superiori conoscono. Essa studia le figure geometriche avvalendosi delle coordinate cartesiane. Queste ultime cosa sono? Sono le coordinate...
Superiori

Metodi per determinare i punti cardinali

Chi si avventura in esplorazioni, sia in mare sia via terra, sa benissimo quanto sia importante conoscere delle tecniche di orientamento. Il problema principale è quello di trovare i punti cardinali e capire la direzione del nord. Anche se non si dispone...
Superiori

Come determinare l'equazione di un'ellisse

In questa guida parleremo di una disciplina abbastanza ostica a buona parte degli studenti, ossia la matematica. Nello specifico, ci occuperemo della geometria, che è un ramo della matematica. A proposito di geometria, introduciamo la definizione di...
Superiori

Come determinare l'equazione di una retta

In questo articolo vogliamo aiutare tutti i nostri lettori a capire come poter determinare l'equazione di una retta, nella maniera più semplice ed anche pratica possibile. Essere in grado di determinare un'equazione, è verame in ambito lavorativo. Prima...
Superiori

Come determinare l'equazione di una parabola per condizioni

Prima di imparare come determinare l'equazione di una parabola per condizioni, spieghiamo che cos'è. In geometria, il termine definisce una particolare figura curva contenuta nel piano. Essa, esattamente, si ottiene come intersezione di un cono circolare...
Superiori

Come determinare l'esistenza del limite di una funzione

Il limite di una funzione rappresenta un concetto comprensibile se si conoscono i basilari concetti topologici. In questa guida vi spiego nel modo più semplice possibile come determinare l'esistenza del limite di una funzione. Come già saprete, il limite...
Superiori

Come Determinare Il Baricentro Di Un Settore Circolare

La conoscenza del baricentro di una sezione risulta essere fondamentale quando entriamo nel settore dei calcoli di fisica, in quanto serve per poter ben determinare il punto in cui la risultante va ad applicare le forze in un corpo, per poi trarne lo...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.