Come determinare i punti di accumulazione di un insieme

Nell'ambito dell'analisi matematica sono di fondamentale importanza gli insiemi numerici, data la loro necessaria conoscenza ai fini dell'apprendimento delle capacità utili per lo studio delle funzioni. Imparare come determinare i punti di accumulazione di un insieme non sarà difficile soltanto se si possiede una buona conoscenza di cosa sia un insieme numerico.
Per definizione sappiamo che un insieme X si dice "insieme numerico" se risulta che X è contenuto in R (R = insieme dei numeri reali). È possibile definire, inoltre, moltissime proprietà e caratteristiche di un insieme numerico (insiemi limitati superiormente, inferiormente, maggioranti, minoranti, intervalli e così via), ma per la ricerca dei punti di accumulazione basta sapere cos'è un intorno di un insieme.

• Buona conoscenza della teoria sugli insiemi e sugli insiemi numerici

Concettualmente (e non per definizione) un intorno I di un punto x e raggio d>0 è l'intervallo aperto I (x) = ]x - d, x + d[. È cioè l'insieme di tutti quei punti che stanno a sinistra e a destra di un punto x (appartenente a X) per un "raggio" di grandezza d.
Utilizzando gli intorni possiamo andare a conoscere la natura di tutti i punti dell'insieme numerico preso in considerazione.
Un punto di un insieme può essere interno, esterno, isolato, di frontiera e, come si analizzerà in seguito, di accumulazione.
Ad esempio, dato un insieme X = [2, 6], cioè l'insieme formato da tutti i punti compresi fra 2 e 6, l'intorno I, del punto 4 di raggio d=1 sarà I (4)=[3, 4[ U ]4, 5].

Prima di passare all'applicazione pratica, bisogna capire la definizione di punto di accumulazione in un insieme numerico.
Dato un insieme X e un punto x appartenente a X per ogni raggio d > 0, si dirà che x è un punto d'accumulazione per X se l'intorno I (x) intersecato all'insieme X è diverso dall'insieme vuoto.
In altre parole si intende dire che comunque preso un intorno (non basta trovarne uno, ma tutti gli intorni devono soddisfare la proprietà) del punto in considerazione risulti che l'intorno abbia dei punti in comune con l'insieme. Compresi a dovere i concetti di intorno e punto di accumulazione, l'applicazione pratica risulterà molto semplice.

Il primo passo da compiere è quello di identificare l'insieme sul quale si sta lavorando.
Prendiamo ad esempio l'insieme X = N u ]3, 6] (insieme dei numeri naturali unito all'intervallo semiaperto a sinistra 3, 6).
L'insieme avrà i seguenti elementi: {0, 1, 2, 3 - 6, 7, 8, 9 ...}
Riconoscere l'insieme è molto importante. Nel caso in cui l'insieme sia rappresentato in maniera estensiva - elemento per elemento - non si incontrerà alcuna difficoltà. Tuttavia se l'insieme è descritto in modo intensivo (come nel nostro caso) - e cioè tramite una legge che accomuna tutti gli elementi dell'insieme - si dovrà essere in grado di interpretare al meglio la legge.

Identificato l'insieme, è chiaro che per trovare un punto di accumulazione, bisogna lavorare laddove ogni intorno sia diverso da insieme vuoto e cioè nell'intervallo ]3, 6]. Se si prova a prendere, infatti, un intorno di 8 con raggio 1/2 è facile vedere che questo è uguale all'insieme vuoto.
Poiché nell'intervallo ]3, 6] gli elementi (o i punti) sono infiniti sarà impossibile trovare un intorno di x tale che I (x) = insieme vuoto.
Tutti i punti compresi tra 3 e 6 (esclusi) sono punti d'accumulazione per l'insieme in questione e l'insieme dei punti di accumulazione di un insieme X si chiama "derivato di X".

• Leggere e comprendere bene le definizioni
• Interpretare in maniera corretta la legge che regola l'insieme numerico

• Appunti sugli insiemi
• Come dimostrare il Teorema di Cantor